Question

Найдите общее решение дифференциального уравнения 5xy"+y'=0

Answer 1

Ответ: y=C1*x^(4/5)+C2, где C1≠0.

Пошаговое объяснение:

Так как в данном уравнении отсутствует сама функция y, то его порядок можно понизить до первого. Полагаем y'=z, тогда y"=z' и уравнение принимает вид: 5*x*z'+z=0, или 5*dz/z=-dx/x. Интегрируя, находим 5*ln/z/=-ln/x/+ln/C/=ln/(C/x)/, где C - произвольная, но не равная нулю постоянная. Отсюда z⁵=C/x и z=dy/dx=C^(1/5)*x^(-1/5). Полагая C^(1/5)=C0, получаем уравнение dy=C0^x^(-1/5)*dx. Интегрируя, находим y=5/4*C0*x^(4/5)+C2, где C2 - произвольная постоянная. Обозначая, наконец, 5/4*C0=C1, получаем y=C1*x^(4/5)+C2, где C1≠0.

Замечание: данное уравнение имеет ещё решение y=C, где C - произвольная постоянная. Но такое решение является тривиальным (очевидным), и мы его не пишем.

Answer 2

Для нахождения общего решения дифференциального уравнения 5xy'' + y' = 0, давайте воспользуемся методом вариации постоянной. Сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения 5xy'' + y' = 0, а затем используем метод вариации постоянной, чтобы найти частное решение.

1. Решение однородного уравнения: Уравнение 5xy'' + y' = 0 можно представить в виде: y'' + (1/5x)y' = 0

Теперь давайте введем замену: u = y', тогда уравнение примет вид: u' + (1/5x)u = 0

Это линейное уравнение первого порядка, и его можно решить с помощью метода разделения переменных: du/u = -(1/5x)dx

Интегрируя обе стороны, получим: ln|u| = -(1/5)ln|x| + C1

где C1 - произвольная постоянная.

Теперь найдем значение u: u = e^(C1) / x^(1/5)

2. Теперь, используя метод вариации постоянной, найдем частное решение. Предположим, что y = v(x)u(x), где v(x) - неизвестная функция, которую мы хотим найти.

Тогда: y' = v'u + vu' y'' = v''u + 2v'u' + vu''

Подставляя это в исходное уравнение и учитывая найденное значение u, получим: 5x(v''u + 2v'u' + vu') + v'u = 0

Упростим это уравнение: 5xv''u + 10xv'u' + 5xvu' + v'u = 0

Теперь можно разделить на u и выразить v''(x): 5xv'' + 10xv'u' + 5xvu' + v'u = 0 5xv'' + (10xu + 5xu')v' + v'u = 0

Теперь выберем v(x) так, чтобы член в скобках был равен нулю: 10xu + 5xu' = 0

Решим это уравнение: 10xu + 5xu' = 0 5x(2u + u') = 0

Это уравнение легко интегрируется: 2u + u' = 0 u' = -2u

Интегрируя это уравнение, получим: du/u = -2dx ln|u| = -2x + C2 u = e^(C2)e^(-2x)

Теперь мы можем записать общее решение исходного уравнения: y = vu = (e^(C2)e^(-2x))(e^(C1) / x^(1/5))

Объединяя константы C1 и C2 в одну константу C, получим окончательное общее решение: y(x) = C * (e^(-2x) / x^(1/5))

Это и есть общее решение дифференциального уравнения 5xy'' + y' = 0.