Question

Найдите какое-нибудь уравнение с целыми коэффициентами, корнем которого является число: 1) √(7) +1 2) 2 √(13)-5 3) √2 + √3

Answer 1

x^2-ax+c=0

По теореме Виета Произведение корней равно c, а сумма равна а

1) Пусть второй корень: 1-sqrt(7)

Уравнение x^2-2x-6=0

2) точно также

Пусть второй корень: -2sqrt(13)-5

Уравнение x^2+10x-27=0

3)  Пусть один корень х1=sqrt(2)+sqrt(3)

тогда  x1^2=5+2*sqrt(6)

Тогда пусть квадрат второго корня x2^2=5-2*sqrt(6)  (корни мнимые, но нас они не интересуют)

х1^2*x2^2=1

Уравнение:

x^4-10x^2+1=0

Answer 2

Давайте найдем уравнения для данных корней:

1. Корень: √(7) + 1

Уравнение: (x - 1)^2 = 7 Раскроем квадрат и упростим: x^2 - 2x + 1 = 7

Получаем уравнение с целыми коэффициентами: x^2 - 2x - 6 = 0

2. Корень: 2√(13) - 5

Уравнение: x = 2√(13) - 5

3. Корень: √2 + √3

Уравнение: (x - √2 - √3)^2 = 0 Раскроем квадрат и упростим: x^2 - 2(√2 + √3)x + 2 + 3 - 2√6 = 0

Получаем уравнение с целыми коэффициентами: x^2 - 2(√2 + √3)x + 5 - 2√6 = 0

Таким образом, у нас есть уравнения с целыми коэффициентами для данных корней.