Question

Вычислить площадь фигур ограниченных линиями:y²+2y+1=3x, 3x-3y=7 ​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

y²+2y+1=3x это парабола ветвями вправо

3x-3y=7 ​прямая

найдем точки пересечения (по у)

$\displaystyle \left \{ {{3x=y^2+2y+1} \atop {3x=7-3y\hfill}} \right.$

второе подставим в первое и получим у₁ = -2;  у₂=3

тогда наша площадь будет считаться по формуле

$\displaystyle S=\int\limits^3_{-2} {(\frac{1}{3} (3y+7-(y^2+2y+1))} \, dy =\frac{1}{3} \int\limits^3_{-2} {(-y^2+y+6)} \, dy=$

$\displaystyle =\bigg(-\frac{1}{3} *\frac{y^3}{3} \bigg ) \bigg \vert_{-2}^3 +\frac{1}{3} *\frac{y^2}{2} \bigg \vert_{-2}^3+\frac{1}{3} *6y\bigg \vert_{-2}^3=-\frac{35}{9} +\frac{5}{6} +10= \frac{125}{18}$

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной данными линиями, мы сначала должны найти точки их пересечения, которые будут вершинами этой фигуры. Затем мы можем использовать интеграл для вычисления площади между этими кривыми.

Давайте начнем с нахождения точек пересечения этих двух линий. У нас есть два уравнения:

1. $y^2 + 2y + 1 = 3x$
2. $3x - 3y = 7$

Сначала преобразуем первое уравнение:

$y^2 + 2y + 1 = 3x$

$y^2 + 2y + 1 - 3x = 0$

Теперь подставим второе уравнение вместо $x$:

$y^2 + 2y + 1 - 3(3y + 7) = 0$

$y^2 + 2y + 1 - 9y - 21 = 0$

Теперь сгруппируем все члены и упростим:

$y^2 - 7y - 20 = 0$

Теперь найдем корни этого квадратного уравнения. Мы можем использовать квадратное уравнение вида $ay^2 + by + c = 0$:

$a = 1$, $b = -7$, $c = -20$

Для нахождения корней можно воспользоваться формулой дискриминанта:

Дискриминант ($D$) = $b^2 - 4ac$

$D = (-7)^2 - 4(1)(-20) = 49 + 80 = 129$

Теперь найдем корни:

$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$y_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{129}}{2}$

Теперь у нас есть две различные y-координаты точек пересечения.

$y_1 = \frac{7 + \sqrt{129}}{2}$ $y_2 = \frac{7 - \sqrt{129}}{2}$

Теперь найдем соответствующие x-координаты, используя уравнение $3x - 3y = 7$:

Для $y_1$:

$3x - 3\left(\frac{7 + \sqrt{129}}{2}\right) = 7$

$3x - \frac{21 + 3\sqrt{129}}{2} = 7$

$3x = \frac{7 + 21 + 3\sqrt{129}}{2}$

$3x = \frac{28 + 3\sqrt{129}}{2}$

$x = \frac{28 + 3\sqrt{129}}{6} = \frac{14 + \frac{3\sqrt{129}}{2}}{3}$

Для $y_2$:

$3x - 3\left(\frac{7 - \sqrt{129}}{2}\right) = 7$