Question

Найдите медиану прямоугольного треугольника, проведённую к его гипотенузе, если один из его катетов равен a, а высота, проведённая к гипотенузе равна h.

Answer 1

Ответ:

Катет a с высотой h образуют треугольник, подобный заданному.

Отношение h/a - это косинус угла (пусть А) между этим катетом и высотой, равный углу между вторым катетом и гипотенузой.

Находим синус угла: sin A = √(1 - (h/a)²) = √(a² - h²)/a.

Отсюда выразим гипотенузу Г:

Г = a/sin A = a/(√(a² - h²)/a) = a²/√(a² - h²).

В прямоугольном треугольнике медиана m к гипотенузе равна её половине.

Ответ: m = a²/(2√(a² - h²)).

Answer 2

Для нахождения медианы прямоугольного треугольника, проведенной к его гипотенузе, мы можем воспользоваться теоремой подобных треугольников.

Сначала определим отношение высоты к гипотенузе треугольника h к длине гипотенузы c:

h/c = 1/2

Теперь, зная это отношение, мы можем найти длину второй части медианы, которая разделяет гипотенузу на две равные части. Пусть m - длина медианы:

m/c = 1/2

Теперь мы можем выразить m:

m = (1/2) * c

Теперь нам нужно найти длину гипотенузы c. Используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, мы можем найти c:

c^2 = a^2 + h^2

Теперь, подставляя это значение в формулу для m, получим:

m = (1/2) * sqrt(a^2 + h^2)

Итак, медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, равна:

m = (1/2) * sqrt(a^2 + h^2)