Question

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной приз­ме АВСDA1B1C1D1 на бо­ко­вых реб­рах АА1 и DD1 взяты со­от­вет­ствен­но точки К и М так, что АК : А1К = 2 : 3, DM : D1M = 4 : 1. а) До­ка­жи­те, что плос­кость ВМК па­рал­лель­на пря­мой АС.б) Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки А до плос­ко­сти ВМК, если АВ = 8, АА1 = 10.С Объяснениями!!! И из ничего не говорить, что прямые параллельны или что-то того-/-.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

а) (BMK) ∩ (ADD1) = KM,

(BCC1) || (ADD1), следовательно,

(BMK) ∩ (BCC1) = BT || KM. Проведём AM1 || KM.

DM = 4/5 DD1, MM1 = AK = 2/5 DD1, тогда DM1 = 2/5 DD1 = AK.

BT || KM || AM1, т.е. BT || AM1;

∠M1AD = ∠TBC - острые углы с соответственно параллельными сторонами, AD = BC и ΔADM1 = ΔBCT по катету и острому углу.

Тогда CT = DM1= AK.

AKTC прямоугольник и КТ || AC

KT ⊂ (BMK) следовательно AC || (BMK)

б) (BMK) ∩ (ABC) = QB

DM1 = M1M = 4, AM1 || QM

По т. Фалеса AQ = AD = 8 и ΔQAB - прямоугольный равнобедренный.

Пусть H - середина QB, тогда по свойству равнобедренного треугольника AH ⊥ QB.

Имеем: QB ⊥ AH, QB ⊥ AK, следовательно QB ⊥ (KAH).

В ΔKAH проведём AP ⊥ KH.

Тогда AP ⊥ KH, AP ⊥ QB,

т.е. AP ⊥ (BMK) и AP = AK * AH/KH, искомое расстояние

AH = ½ QB = 4√‎2.

KH = √‎AK² + AH² = √16 + 32 = 4√3

AP = 4 * 4√2/4√3 = 4√6/3

Ответ: 4√6/3

Answer 2

Для доказательства, что плоскость ВМК параллельна прямой AC, рассмотрим связь между векторами в данной конструкции. Перед тем как начать, определим несколько обозначений:

1. Пусть векторами будут a, a1, d, d1, k, и m, которые соответствуют векторам АА1, DD1, АД, D1D, АК и D1M соответственно.

2. Также обозначим B и B1 как середины ребер АА1 и DD1 соответственно.

Теперь давайте рассмотрим некоторые отношения между этими векторами:

a1 = a - 2/3 * k (по условию АК : А1К = 2 : 3) d1 = d - 1/4 * m (по условию DM : D1M = 4 : 1)

Теперь мы видим, что вектор b, который соединяет точку B с точкой B1, можно представить следующим образом:

b = B1 - B = (d + d1)/2 - (a + a1)/2 = (d - a)/2 + (d1 - a1)/2 = 1/2 * (d - a) + 1/2 * (d1 - a1) = 1/2 * (d - a) + 1/2 * (d - 2/3 * k - (a - 2/3 * k)) = 1/2 * (d - a) + 1/2 * (d - a) = (d - a)

Теперь у нас есть вектор b, который равен (d - a). Это означает, что вектор b коллинеарен вектору AC (прямой AC), и следовательно, плоскость BМK параллельна прямой AC.

Теперь, чтобы найти расстояние от точки A до плоскости BМК, мы можем использовать проекцию вектора АВ на вектор BМ:

Расстояние = |AB * sin(θ)|, где θ - угол между векторами AB и BM.

AB = B - A = (d - a) - a = d - 2a

Теперь найдем синус угла θ:

sin(θ) = |(AB * BM)| / (|AB| * |BM|) = |((d - 2a) * (d - a))| / (|d - 2a| * |d - a|)

Теперь у нас есть все необходимые значения, чтобы найти расстояние от точки A до плоскости BМК.