Question

Найти область существования функции lg(1-2^(x-1))

Answer 1

Ответ:

$1 - {2}^{x - 1} > 0 \\ {2}^{x - 1} < 1 \\ {2}^{x - 1} < {2}^{0} \\ x - 1 < 0 \\ x < 1 \\ ( - \infty ..1)$

Answer 2

Функция $lg(1-2^{x-1})$ существует, когда выражение $1-2^{x-1}$ внутри логарифма является положительным числом, так как логарифм отрицательного или нулевого числа не определен в вещественных числах.

Давайте рассмотрим, когда $1-2^{x-1}$ положительно:

$1 - 2^{x-1} > 0$

Теперь давайте решим это неравенство:

$2^{x-1} < 1$

Чтобы решить это неравенство, прологарифмируем обе стороны с основанием 2:

$lg(2^{x-1}) < lg(1)$

$x - 1 < 0$

Добавим 1 к обеим сторонам неравенства:

$x < 1$

Таким образом, область существования функции $lg(1-2^{x-1})$ включает в себя все вещественные числа $x$, которые меньше 1. В математической нотации это можно записать как:

$x \in (-\infty, 1)$

Таким образом, функция $lg(1-2^{x-1})$ существует для всех $x$ из интервала $(-∞, 1)$.