Question

Знайдіть значення тригонометричних функцій кута α, коли відомо, що: tg a = 1, π < a < 3π/2

Answer 1

Ответ: а =π/4+π=5*π/4, sin(5*π/4)=-0,5*√2, cos(5*π/4)=-0,5*√2.

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Дано, що $\tan(\alpha) = 1$, і кут $\alpha$ знаходиться в третьому квадранті ($\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$).

Тангенс кута $\alpha$ визначається як співвідношення протилежного катета до прилеглого катета в прямокутному трикутнику. Також відомо, що тангенс можна виразити через косинус і синус: $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$.

Отже, ми можемо записати: $\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = 1$

Розглянемо значення синуса і косинуса в третьому квадранті:

• Синус у третьому квадранті від'ємний: $\sin(\alpha) < 0$.
• Косинус у третьому квадранті також від'ємний: $\cos(\alpha) < 0$.

Отже, ми маємо: $\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = -1$

Це дає нам рівність: $\sin(\alpha) = -\cos(\alpha)$

Враховуючи це, ми можемо скористатися відомими значеннями синуса і косинуса для кутів $\alpha$ в третьому квадранті. У третьому квадранті синус та косинус можна виразити через відомі значення для кута $\beta$, який знаходиться в першому квадранті:

$\sin(\alpha) = \sin(\pi - \beta) = -\sin(\beta)$ $\cos(\alpha) = \cos(\pi - \beta) = -\cos(\beta)$

Отже, ми маємо: $-\sin(\beta) = -\cos(\beta)$

Скасовуючи мінуси, ми отримуємо: $\sin(\beta) = \cos(\beta)$

Це вірно для кутів $\beta$, які належать до першого квадранту, наприклад, $\beta = \frac{\pi}{4}$.

Отже, можна сказати, що $\alpha = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$. Однак, оскільки $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$, ми беремо кут $\alpha$ в третьому квадранті, тому $\alpha = \frac{3\pi}{4}$.

Тепер знаходимо значення тригонометричних функцій для кута $\alpha = \frac{3\pi}{4}$:

$\tan\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \tan(45^\circ) = 1$ $\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \sin(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ $\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \cos(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}}$