Question

відомо що tg a=-4/3 і п/2 < a <\pi . Знайти значення трьох інших тригонометричних функцій кута а.

Answer 1

Ответ:

решение смотри на фотографии

Answer 2

Ответ:

$\tg( \alpha ) = - \frac{4}{3}$

Угол принадлежит 2 четверти, значит синус положительный, остальные функции отрицательны.

По формуле:

$1 + {\tg}^{2} ( \alpha ) = \frac{1}{ \cos {}^{2} ( \alpha ) } \\ \cos( \alpha ) = \pm \sqrt{ \frac{1}{1 + {\tg}^{2}( \alpha) } }$

$\cos( \alpha ) = - \sqrt{ \frac{1}{1 + \frac{16}{9} } } = - \sqrt{ \frac{9}{25} } = - \frac{3}{5}$

$\sin( \alpha ) = \sqrt{1 - \cos {}^{2} ( \alpha ) } = \sqrt{1 - \frac{9}{25} } = \\ = \sqrt{ \frac{16}{25} } = \frac{4}{5}$

$\ctg (\alpha) = \frac{1}{\tg \alpha } = - \frac{3}{4}$

Answer 3

Знаючи, що $\tan{a} = -\frac{4}{3}$ та $\frac{\pi}{2} < a < \pi$, можна знайти значення інших тригонометричних функцій кута $a$.

Можна використати тригонометричний ідентифікатор $\tan^2{a} + 1 = \sec^2{a}$, де $\sec{a}$ - це секанс кута $a$.

Знаючи, що $\tan{a} = -\frac{4}{3}$, можна знайти $\sec^2{a}$:

$\sec^2{a} = \tan^2{a} + 1 = \left(-\frac{4}{3}\right)^2 + 1 = \frac{16}{9} + 1 = \frac{25}{9}.$

Тепер можна знайти $\sec{a}$ як додатковий корінь з $\frac{25}{9}$, отримаємо $\sec{a} = \pm\frac{5}{3}$. Однак, оскільки $a$ знаходиться в другому квадранті (де косинус від'ємний), $\sec{a}$ в даному випадку є від'ємним: $\sec{a} = -\frac{5}{3}$.

Тепер можна використати інший тригонометричний ідентифікатор $\sec^2{a} = 1 + \tan^2{a}$, де $\csc{a}$ - це косеканс кута $a$. Знаючи, що $\tan{a} = -\frac{4}{3}$, можна знайти $\csc{a}$:

$\csc^2{a} = 1 + \tan^2{a} = 1 + \left(-\frac{4}{3}\right)^2 = 1 + \frac{16}{9} = \frac{25}{9}.$

Отже, $\csc{a} = \pm\frac{5}{3}$. Оскільки $a$ знаходиться в другому квадранті (де синус від'ємний), $\csc{a}$ в даному випадку є від'ємним: $\csc{a} = -\frac{5}{3}$.

Знаючи значення $\tan{a}$, $\sec{a}$ і $\csc{a}$, можна також знайти значення інших тригонометричних функцій $a$:

1. $\sin{a} = \frac{\tan{a}}{\sec{a}} = \frac{-\frac{4}{3}}{-\frac{5}{3}} = \frac{4}{5}.$

2. $\cos{a} = \frac{1}{\sec{a}} = \frac{1}{-\frac{5}{3}} = -\frac{3}{5}.$