Question

Найти промежутки возрастания и убывания функции и точки экстремума f(х) = х3 – 9х2 + 15х.​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

решаем через первую производную

f'(x)' = 3x²-18x+15

3x²-18x+15 = 0  ⇒  х₁ = 1;  х₂=5  - это точки экстремума

получили интервалы и рассмотрим знак производной на этих интервалах

(-∞ ;1)    f'(0) = 15 > 0 функция возрастает

(1; 5)      f'(2) =  -9 < 0 функция убывает

(5; +∞)   f'(10) = 300-180+15 = 135 > 0 функция возрастает

Answer 2

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции, а также точек экстремума функции f(x) = x^3 - 9x^2 + 15x, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите производную функции f(x): f'(x) = 3x^2 - 18x + 15.

2. Найдите критические точки, где производная равна нулю: 3x^2 - 18x + 15 = 0.

   Для упрощения уравнения, вы можете поделить все его члены на 3: x^2 - 6x + 5 = 0.

   Теперь решите это квадратное уравнение. Факторизация является простым способом: (x - 5)(x - 1) = 0.

   Получили два решения: x = 5 и x = 1.

3. Теперь определите знак производной на интервалах между и после найденных критических точек. Для этого используйте тестирование точек в производной f'(x).

   a) Если x < 1, то выбираем x = 0: f'(0) = 3(0)^2 - 18(0) + 15 = 15, что положительно.

   b) Если 1 < x < 5, то выбираем x = 3: f'(3) = 3(3)^2 - 18(3) + 15 = -18, что отрицательно.

   c) Если x > 5, то выбираем x = 6: f'(6) = 3(6)^2 - 18(6) + 15 = 15, что положительно.

Теперь мы знаем, что:

• Функция убывает на интервале (-∞, 1).
• Функция возрастает на интервалах (1, 5) и (5, +∞).

4. Чтобы найти точки экстремума, анализируем знаки изменения производной:
   • Переход с отрицательной производной на положительную означает минимум.
   • Переход с положительной производной на отрицательную означает максимум.

Исходя из этого, у нас есть точка экстремума при x = 1 (минимум) и x = 5 (максимум).

Таким образом:

• Функция имеет минимум в точке (1, f(1)).
• Функция имеет максимум в точке (5, f(5)).
• Функция убывает на интервале (-∞, 1).
• Функция возрастает на интервалах (1, 5) и (5, +∞).