Question

A) Доказать, что при любых значениях переменных верно неравенство: 1) (а - 6)(a + 4) > (а + 2)(a - 4)2) (а - 4)^2 - 3 < (а - 6)(a - 2)3) а(а - 2) > 6(а - 3)4) а^2-16а + 70 > 0​

Answer 1

Значение переменной может быть любым, если при решении неравенства эти переменные просто сократятся. Их не будет.

(a-6)(a+4)>(a+2)(a-4)

a²+4a-6a-24 > a²-4a+2a-8

a²-2a-24 > a²-2a-8

a²-a²-2a+2a-24 > -8

-24 > -8 -- неравенство не верное, т.к. -24 < -8.  А так буквы сокращаются, переменные не важны.

(a-4)²-3 < (a-6)(a-2)

a²-8a+16-3 < a²-8a+12

13 < 12 - верно

a(a-2) > 6(a-3)

a²-2a >6a-18

a²-2a-6a > -18

a²-12a > -18 - не верно

a²-16a+70>0

D=16²-4*70= - 24 - решений нет

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое из представленных неравенств по отдельности:

1. (а - 6)(a + 4) > (а + 2)(a - 4)

Для начала упростим обе стороны неравенства:

(a - 6)(a + 4) - (а + 2)(a - 4) > 0

Теперь раскроем скобки:

a^2 - 2a - 24 - (a^2 - 2a - 8) > 0

После упрощения получим:

a^2 - 2a - 24 - a^2 + 2a - 8 > 0

Теперь множители a^2 и -a^2 уничтожаются, и остается:

-24 - 8 > 0

-32 > 0

Это неравенство верно, так как -32 меньше нуля. Значит, данное неравенство выполняется для любых значений переменной "а".

2. (а - 4)^2 - 3 < (а - 6)(a - 2)

Для начала упростим обе стороны неравенства:

(a - 4)^2 - 3 - (а - 6)(a - 2) < 0

Раскроем скобки:

(a^2 - 8a + 16) - 3 - (a^2 - 8a + 12) < 0

После упрощения получим:

a^2 - 8a + 16 - 3 - a^2 + 8a - 12 < 0

Заметим, что все слагаемые a^2 и -a^2 уничтожаются, а также все слагаемые -8a и 8a уничтожаются. Остается:

16 - 3 - 12 < 0

1 - 12 < 0

-11 < 0

Это неравенство также верно, так как -11 меньше нуля. Значит, данное неравенство также выполняется для любых значений переменной "а".

3. a(a - 2) > 6(a - 3)

Для начала упростим обе стороны неравенства:

a(a - 2) - 6(a - 3) > 0

Раскроем скобки:

a^2 - 2a - 6a + 18 > 0

После упрощения получим:

a^2 - 8a + 18 > 0

Теперь попробуем разложить квадратное уравнение:

a^2 - 8a + 18 = (a - 6)(a - 3)

Теперь видно, что уравнение имеет корни a = 6 и a = 3. Посмотрим, как оно меняется в интервалах между этими корнями и за пределами:

• Если a < 3, то оба множителя (a - 6) и (a - 3) отрицательны, и произведение положительно.
• Если 3 < a < 6, то множитель (a - 6) отрицателен, а (a - 3) положителен, и произведение отрицательно.
• Если a > 6, то оба множителя (a - 6) и (a - 3) положительны, и произведение снова положительно.

Таким образом, данное неравенство выполняется, если a < 3 или a > 6.

4. a^2 - 16a + 70 > 0

Давайте попробуем разложить левую часть на множители:

a^2 - 16a + 70 = (a - 10)(a - 6)

Теперь видно, что уравнение имеет корни a = 10 и a = 6. Посмотрим, как оно меняется в интервалах между этими корнями и за пределами:

• Если a < 6, то оба множителя (a - 10) и (a - 6) отрицательны, и произведение положительно.
• Если 6 < a < 10, то множитель (a - 10) отрицателен, а (a - 6) положителен, и произведение отрицательно.
• Если a > 10, то оба множителя (a - 10) и (a - 6) положительны, и произведение снова положительно.

Таким образом, данное неравенство выполняется, если a < 6 или a > 10.

Итак, мы доказали, что каждое из представленных неравенств верно в определенных интервалах значений переменной "а".