Question

Интеграл 5xdx/x2 - 4

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

$\displaystyle \int {\frac{5x}{x^2-4} } \, dx =\left[\begin{array}{ccc}u=x^2-4\\du=2xdx\\\end{array}\right] = \frac{5}{2} \int {\frac{1}{u} } \, du = \frac{5}{2} ln(x^2-4)+C$

Answer 2

Чтобы вычислить данный интеграл, вы можете воспользоваться методом частных дробей. Сначала разложим дробь 5x / (x^2 - 4) на частные дроби следующим образом:

5x / (x^2 - 4) = A / (x - 2) + B / (x + 2)

Теперь найдем значения коэффициентов A и B. Умножим обе стороны уравнения на общий знаменатель (x - 2)(x + 2), чтобы избавиться от дробей:

5x = A(x + 2) + B(x - 2)

Теперь подставим значения x, которые сделают дроби в знаменателях равными нулю. Для x = 2:

5(2) = A(2 + 2) + B(2 - 2)

10 = 4A

A = 10 / 4 = 5/2

Аналогично для x = -2:

5(-2) = A(-2 + 2) + B(-2 - 2)

-10 = -4B

B = -10 / -4 = 5/2

Теперь мы знаем значения коэффициентов A и B. Теперь можем интегрировать исходное выражение:

∫(5x / (x^2 - 4)) dx = ∫(5/2 * (1 / (x - 2) + 1 / (x + 2))) dx

Теперь интегрируем каждую из частных дробей по отдельности:

∫(5/2 * (1 / (x - 2) + 1 / (x + 2))) dx = (5/2) * (∫(1 / (x - 2)) dx + ∫(1 / (x + 2)) dx)

Интегралы этих функций можно взять стандартными методами:

(5/2) * (ln|x - 2| + ln|x + 2|) + C

Где C - константа интегрирования. Таким образом, окончательный ответ:

(5/2) * (ln|x - 2| + ln|x + 2|) + C