Question

Розвяжіть нерівність ctg x:3 ≥ -√3 ​

Answer 1

Ответ:в прикреплённом файле

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Щоб розв'язати дану нерівність, спершу визначимо, для яких значень x ctg(x) більше або рівне -√3/3. Зауважте, що ctg(x) це котангенс, який можна виразити як 1/tan(x).

Отже, ми маємо:

ctg(x)/3 ≥ -√3/3

Домножимо обидві сторони на 3, щоб позбутися ділення на 3:

ctg(x) ≥ -√3

Тепер знайдемо значення x, для яких ctg(x) більше або рівне -√3. Пам'ятайте, що котангенс - це обернена функція тангенсу, тобто ctg(x) = 1/tan(x).

Отже, ми маємо:

1/tan(x) ≥ -√3

Тепер знайдемо тангенс x, для якого ця нерівність справедлива:

tan(x) ≤ -1/√3

Тепер знайдемо всі можливі значення x, які задовольняють цю нерівність. Для цього використаємо кругову функцію тангенсу.

Тангенс має властивість, що tan(x) = -tan(π - x), тобто зміна знаку тангенсу не впливає на значення нерівності.

Також, ми знаємо, що tan(π/6) = √3/3. Таким чином, наше рівняння буде:

tan(x) ≤ -√3

Розв'яжемо це для значень x в інтервалі [0, π]. Позначимо x₀ як рішення цієї нерівності на вказаному інтервалі. Отже, x₀ знаходиться в інтервалі (π/2, π), бо в іншому випадку tan(x) був би додатнім.

Тепер можемо використовувати тригонометричний тангенс для розв'язання:

tan(π - x₀) = -tan(x₀) = √3

Тепер, щоб знайти x₀, використовуємо обернену функцію тангенсу:

π - x₀ = arctan(√3)

x₀ = π - arctan(√3)

Отже, розв'язок даної нерівності в інтервалі [0, π] є:

x ∈ (π/2, π - arctan(√3))

Цей інтервал включає всі можливі значення x, для яких ctg(x)/3 ≥ -√3/3.