Question

На медиане bd треугольника abc отмечена точка k. докажите что если ka kc то ab bc cрочно!

Answer 1

Ответ:

См. Пошаговое объяснение

Пошаговое объяснение:

Если ка = кс, то треугольник akc является равнобедренным, в силу чего кd является не только медианой, но и высотой, то есть  kd ⊥ ac.

Но так как kd  принадлежит bd, то это означает, что и bd ⊥ ac.

А это значит, что в треугольнике abc медиана bd является также высотой. А медиана является высотой только в равнобедренном треугольнике. Следовательно, ab = bc, что и требовалось доказать.

Answer 2

Из условия задачи следует, что точка $K$ лежит на медиане $BD$ треугольника $ABC$. Это означает, что $K$ делит медиану $BD$ пополам, то есть $BK = KD$.

Теперь предположим, что $KA > KC$. Рассмотрим треугольники $AKB$ и $CKD$. Из неравенства треугольников следует, что угол $KAB$ больше угла $KDC$ (по теореме о неравенстве углов в треугольнике: если стороны против больших углов больше, то большие углы больше). Но поскольку $KB = KD$ (по построению), угол $KAB$ также больше угла $KDC$, так как они соответственно лежат напротив равных сторон.

Таким образом, имеем:

$\angle KAB > \angle KDC$

Рассмотрим также треугольники $KAB$ и $KDC$. Поскольку $KA > KC$ и $AB = DC$ (так как это медианы, они равны), то треугольник $KAB$ больше треугольника $KDC$ (по теореме о неравенстве треугольников: если стороны против больших углов больше, то больший треугольник больше).

Таким образом, имеем:

$\triangle KAB > \triangle KDC$

Но это противоречит тому, что мы выяснили ранее ($\angle KAB > \angle KDC$). Такое предположение о том, что $KA > KC$, невозможно.

Следовательно, единственной возможностью является то, что $KA = KC$.