Question

Вопрос Найдите все значения nεN, при которых значение функции f(n) = является натуральным числом.

Answer 1

$\frac{n^3-3n+4}{n-1}=\frac{(n^3 - 3 n^2 + 3 n - 1)+(3n^2 - 6 n + 3)+2}{n-1}=\frac{(n-1)^3+3\cdot (n^2 - 2 n + 1)+2}{n-1}=\frac{(n-1)^3+3\cdot (n-1)^2+2}{n-1}=\\\\=(n-1)^2+3\cdot (n-1)+\frac{2}{n-1}=n^2-2n+1+3n-3+\frac{2}{n-1}=n^2+n-2+\frac{2}{n-1}$

2 делится на (n-1):

$n-1=-2; \ \ \ n=-1 \ \notin \ N \\ \\ n-1=-1; \ \ \ n=0 \ \notin \ N \\ \\ n-1=1; \ \ \ \ \ n=2 \\ \\ n-1=2; \ \ \ \ \ n=3 \\ \\ n_1=1; \ \ n_2=3$

Answer 2

Формула f(n) = n^2 - n является квадратичной функцией от n. Чтобы найти все значения nεN, при которых f(n) является натуральным числом, мы можем рассмотреть разные случаи:

1. Первый случай: n = 0. Подставляя n = 0 в формулу, получаем f(0) = 0^2 - 0 = 0, что является натуральным числом.

2. Второй случай: n > 0. Если n больше нуля, то f(n) = n^2 - n = n(n - 1). Заметим, что один из множителей в этом выражении равен n, который всегда натуральное число. Таким образом, f(n) будет натуральным числом, если и только если (n - 1) тоже натуральное число.

Итак, f(n) будет натуральным числом, если:

1. n = 0.
2. (n - 1) является натуральным числом.

Поэтому все значения nεN, при которых f(n) является натуральным числом, включают в себя 0 и все натуральные числа n, кроме 1.