Question

Дослідити на екстремум функцію у=ln⁡(x^2+1)

Answer 1

Ответ:

решение смотри на фотографии

Answer 2

Щоб дослідити функцію $y = \ln(x^2 + 1)$ на екстремуми, спершу знайдемо її похідні першого та другого порядку за $x$, а потім розв'яжемо рівняння для знаходження точок екстремуму.

1. Знайдемо похідну першого порядку $y'$:

$y' = \frac{d}{dx}\ln(x^2 + 1)$

Для цього скористаємося ланцюжковим правилом, оскільки функція $\ln(u)$ має похідну $\frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx}$:

$y' = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot \frac{d}{dx}(x^2 + 1)$

$y' = \frac{2x}{x^2 + 1}$

2. Знайдемо похідну другого порядку $y''$, обчисливши похідну виразу $y'$ за $x$:

$y'' = \frac{d}{dx}\left(\frac{2x}{x^2 + 1}\right)$

Використовуючи правило диференціювання часткових дробів, маємо:

$y'' = \frac{2(x^2 + 1) - 2x(2x)}{(x^2 + 1)^2}$

$y'' = \frac{2}{x^2 + 1} - \frac{4x^2}{(x^2 + 1)^2}$

3. Тепер знайдемо точки, в яких похідна $y'$ дорівнює нулю, щоб визначити можливі точки екстремуму:

$0 = \frac{2x}{x^2 + 1}$

Це рівняння має одне рішення, яке дорівнює $x = 0$.

4. Тепер визначимо знаки похідних в околі точки $x = 0$, щоб визначити, чи ця точка є мінімумом чи максимумом.

a) Для $y'$:

При $x < 0$, $x^2 + 1$ завжди більше нуля, тому $y'$ від'ємна.

При $x > 0$, $x^2 + 1$ також завжди більше нуля, тому $y'$ додатня.

Отже, у точці $x = 0$ маємо зміну з від'ємного $y'$ до додатнього. Це означає, що $x = 0$ є точкою локального мінімуму.

b) Для $y''$:

$y''(0) = \frac{2}{0^2 + 1} - \frac{4 \cdot 0^2}{(0^2 + 1)^2} = 2$

Похідна другого порядку $y''$ дорівнює додатному числу ($2$) у точці $x = 0$, що також підтверджує, що $x = 0$ є точкою локального мінімуму.

Отже, функція $y = \ln(x^2 + 1)$ має точку локального мінімуму в точці $x = 0$.