Question

СРОЧНО!!!! Швидкість точки яка рухається прямолінійно задана рівнянням V(t) = 2t2+t. Знайти шлях який пройде точка за час від t1=2 до t2=3

Answer 1

$V(t)=2t^2+t \\ \\ S(t)=\int\limits^a_b {V(t)} \, dt \\ \\ S(t)=\int\limits^3_2 {(2t^2+t)} \, dt=(2\cdot \frac{t^3}{3}+\frac{t^2}{2})|^3_2=(\frac{2}{3}\cdot 3^3+\frac{1}{2}\cdot 3^2)-(\frac{2}{3}\cdot 2^3 +\frac{1}{2}\cdot 2^2 )=\\ \\ = (\frac{2}{3}\cdot 27+\frac{1}{2}\cdot 9)-(\frac{2}{3}\cdot 8+\frac{1}{2}\cdot 4)=18+\frac{9}{2}-\frac{16}{3}-2=16+\frac{27-32}{6}=16-\frac{5}{6}= \\ \\ =\frac{96-5}{6}=\frac{91}{6}=15\frac{1}{6} \ m$

Answer 2

Для знаходження шляху, який пройде точка за певний часовий інтервал від t1 до t2, вам потрібно обчислити визначений інтеграл від швидкості протягом цього інтервалу часу. Формула для визначеного інтеграла від швидкості від t1 до t2 виглядає так:

$S(t_1, t_2) = \int_{t_1}^{t_2} V(t) \, dt$

У вашому випадку швидкість V(t) = 2t^2 + t, і ви хочете знайти шлях S(2, 3), тобто від t1 = 2 до t2 = 3.

$S(2, 3) = \int_{2}^{3} (2t^2 + t) \, dt$

Щоб знайти цей інтеграл, вам потрібно обчислити антипохідну від функції V(t) відносно t та обчислити від неї різницю в точках t2 і t1.

$S(2, 3) = \left[\frac{2}{3}t^3 + \frac{1}{2}t^2\right]_{2}^{3}$

Тепер обчисліть вираз для t = 3 та t = 2 і відніміть їх:

$S(2, 3) = \left[\frac{2}{3}(3^3) + \frac{1}{2}(3^2)\right] - \left[\frac{2}{3}(2^3) + \frac{1}{2}(2^2)\right]$

$S(2, 3) = \left[\frac{2}{3}(27) + \frac{1}{2}(9)\right] - \left[\frac{2}{3}(8) + \frac{1}{2}(4)\right]$

$S(2, 3) = \left[\frac{54}{3} + \frac{9}{2}\right] - \left[\frac{16}{3} + 2\right]$

S(2, 3) = \left[18 + \frac{9}{2}\right] - \left[\frac{16}{3} + 2

$S(2, 3) = 18 + \frac{9}{2} - \frac{16}{3} - 2$

Тепер обчислімо це:

$S(2, 3) = 18 + 4.5 - \frac{16}{3} - 2$

$S(2, 3) = 22.5 - \frac{16}{3} - 2$

$S(2, 3) = \frac{45}{2} - \frac{16}{3} - 2$

Тепер обчислімо чисельний результат:

$S(2, 3) = \frac{135}{6} - \frac{32}{6} - \frac{12}{6}$

$S(2, 3) = \frac{135 - 32 - 12}{6}$

$S(2, 3) = \frac{91}{6}$

Отже, шлях, пройдений точкою від t1 = 2 до t2 = 3, дорівнює $\frac{91}{6}$ одиниць довжини (одиниці вимірювання залежать від того, в яких одиницях виміру ви вимірюєте час і швидкість).