Question

Найти точки экстремума y=x³-3x

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для нахождения точек экстремума функции y = x³ - 3x сначала найдем ее производную, а затем приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки. Экстремумы могут быть локальными минимумами или максимумами функции.

1. Найдем производную функции y = x³ - 3x по переменной x:

y'(x) = 3x² - 3.

2. Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:

3x² - 3 = 0.

Добавим 3 к обеим сторонам:

3x² = 3.

Разделим обе стороны на 3:

x² = 1.

3. Теперь найдем значения x, удовлетворяющие уравнению x² = 1. Это уравнение имеет два решения:

x₁ = 1, x₂ = -1.

4. Теперь, чтобы найти соответствующие значения y, подставим найденные x обратно в исходную функцию:

Для x₁ = 1: y(1) = 1³ - 3 * 1 = 1 - 3 = -2.

Для x₂ = -1: y(-1) = (-1)³ - 3 * (-1) = -1 + 3 = 2.

Итак, у нас есть две критические точки (1, -2) и (-1, 2). Теперь определим, являются ли они минимумами или максимумами, используя вторую производную тест:

Для этого найдем вторую производную:

y''(x) = 6x.

Теперь подставим значения x₁ = 1 и x₂ = -1 во вторую производную:

Для x₁ = 1: y''(1) = 6 * 1 = 6 (положительное значение).

Для x₂ = -1: y''(-1) = 6 * (-1) = -6 (отрицательное значение).

По второй производной тесту, если вторая производная положительная, то это указывает на локальный минимум, а если отрицательная, то на локальный максимум.

Таким образом:

• Точка (1, -2) является локальным минимумом.
• Точка (-1, 2) является локальным максимумом.