Question

найти наименьшее и наибольшее значение функции y=(x-2)e^x на отрезке (-2,1) решите пожалуйста с подробным решением

Answer 1

Ответ:

Возьмем производную

y'=e^x+e^x(x-2) = e^x(1+x-2) = e^x(x-1)

e^x(x-1)=0

e^x=0 или x-1 = 0

нет решений x=1

При x<1 e^x(x-1) < 0

При x > 1 e^x(x-1) > 0

x = 1 - точка минимума => функция достигает своего наименьшего значения в точке x = 1, наибольшего - в точке x=-2

y=(-2-2)e^(-2)=-4 на приближенно 0,14 (с точностью до сотых) = -2,14 - наибольшее значение

y=(1-2)e^1=-1 * приближенно 2,72(с точностью до сотых) = -2,72 - наименьшее значение

Answer 2

Чтобы найти наименьшее и наибольшее значение функции $y = (x - 2)e^x$ на отрезке $(-2, 1)$, мы начнем с поиска критических точек и точек экстремума, а затем проверим значения функции в этих точках и на концах интервала.

1. Найдем производную функции $y$ по $x$:

$y'(x) = \frac{d}{dx}((x - 2)e^x) = (x - 2)e^x + e^x = e^x(x - 1).$

2. Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю и решим уравнение:

$e^x(x - 1) = 0.$

Это уравнение имеет два корня: $x = 0$ и $x = 1$. Теперь у нас есть две критические точки.

3. Проверим значения функции в этих критических точках и на концах интервала:

• $x = 0$: $y(0) = (0 - 2)e^0 = -2$.

• $x = 1$: $y(1) = (1 - 2)e^1 = -e$.

• На концах интервала:

  • При $x = -2$: $y(-2) = (-2 - 2)e^{-2} = -4e^{-2}$.
  • При $x = 1$: $y(1) = (1 - 2)e^1 = -e$.

Теперь у нас есть значения функции на критических точках и на концах интервала. Минимальное значение будет наименьшим из этих значений, а максимальное значение будет наибольшим из них.

Итак, наименьшее и наибольшее значение функции $y = (x - 2)e^x$ на интервале $(-2, 1)$:

• Минимальное значение: $-4e^{-2} \approx -0.2707$.
• Максимальное значение: $-e \approx -2.7183$.