Question

Знайти суму ряду: 5/4*6 + 5/5*7 + 5/6*8 + 5/7*9 + .......

Answer 1

5:4*6+5:5*7+5:6*8+5:7*9+5:8*10=33,8452380952.

Answer 2

Даний ряд є геометричним рядом, або більш загально - гармонічним рядом, оскільки кожен член є добутком двох інших чисел, які збільшуються на 1 після кожного кроку.

Спростимо перший доданок, щоб побачити загальний вигляд ряду:

5/4 * 6 = (5/4) * (4 + 2) = 5 + 5/2.

Тепер загальний вигляд ряду можна записати так:

5/46 + 5/57 + 5/68 + 5/79 + ...

Спростимо кожен доданок окремо:

5/46 = 5 + 5/2 5/57 = 5/2 + 5/3 5/68 = 5/3 + 5/4 5/79 = 5/4 + 5/5

Зауважте, що вираз 5/n*(n+2) можна подати у вигляді (5/n) + (5/(n+1)), де n - це номер члена ряду.

Отже, ряд можна записати як:

(5/4) + (5/5) + (5/6) + (5/7) + ...

Тепер ми бачимо, що кожен доданок у ряду є гармонічним рядом, із знаменниками 4, 5, 6, 7 і так далі.

Сума гармонічного ряду з розміщенням n має вигляд:

S_n = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n.

Значення цього ряду не має скінченного обмеження, тобто він розходиться. Тому сума даного ряду також розходиться.

Отже, сума ряду

5/46 + 5/57 + 5/68 + 5/79 + ...

не має скінченого значення (розходиться).