Question

Завод с 1000 рабочих будет работать эффективно, если на работу придет не менее 935 рабочих. Найдите вероятность того, что фабрика работает эффективно в случайный день, если известно, что вероятность неработать составляет 0,05 на одного рабочего. а) Запишите случайную величину, рассматриваемую в задаче. б) Каково распределение этой случайной величины? Почему? c) Запишите проверку условий, необходимых для перехода от биномиального распределения к нормальному распределению. г) Рассчитайте запрошенную вероятность. (Подробно преобразуйте детали и расчеты.)

Answer 1

Ответ:

Привет от математички ТТУ)

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Давайте рассмотрим эту задачу шаг за шагом.

а) Случайная величина в этой задаче - количество рабочих, которые приходят на работу, чтобы завод работал эффективно в течение дня.

б) Распределение этой случайной величины является биномиальным распределением, потому что у нас есть два исхода: рабочий приходит на работу (успех) с вероятностью 0.95 и не приходит на работу (неудача) с вероятностью 0.05.

c) Для перехода от биномиального распределения к нормальному распределению необходимо выполнение следующих условий:

1. Большое количество наблюдений (n), что в данном случае верно, так как у нас 1000 рабочих.
2. Вероятность успеха (p) должна быть небольшой, но число успехов (np) должно быть значительным, что также выполняется, так как np = 1000 * 0.95 = 950 ≥ 5, и число неудач (n(1-p)) также должно быть значительным, что также выполняется, так как n(1-p) = 1000 * 0.05 = 50 ≥ 5.

Таким образом, мы можем приблизить биномиальное распределение нормальным распределением.

d) Теперь давайте рассчитаем вероятность того, что завод будет работать эффективно в случайный день. Мы хотим найти P(X ≥ 935), где X - количество рабочих, пришедших на работу.

Мы можем использовать нормальное приближение биномиального распределения с параметрами:

• Среднее значение (μ) = np = 1000 * 0.95 = 950
• Стандартное отклонение (σ) = √(np(1-p)) = √(1000 * 0.95 * 0.05) ≈ 4.33

Теперь мы можем стандартизировать эту случайную величину и найти вероятность:

Z = (X - μ) / σ Z = (935 - 950) / 4.33 ≈ -3.47

Теперь мы можем найти вероятность P(X ≥ 935) с помощью таблицы стандартного нормального распределения или калькулятора:

P(X ≥ 935) ≈ P(Z ≥ -3.47)

Из таблицы или с использованием калькулятора найдем P(Z ≥ -3.47), что примерно равно 0.9997.

Таким образом, вероятность того, что фабрика будет работать эффективно в случайный день, составляет около 0.9997 или примерно 99.97%.