Question

Найти производную ctg^3 6x​

Answer 1

Ответ:

$( {ctg}^{3} (6x)) '= 3 {ctg}^{2} (6x) \times (ctg(6x))' \times (6x)' = \\ = 3 {ctg}^{2} (6x) \times ( - \frac{1}{ \sin {}^{2} (6x) } ) \times 6 = \\ = - \frac{18 {ctg}^{2} (6x)}{ \sin {}^{2} (6x) }$

Answer 2

Чтобы найти производную функции $ctg^3(6x)$, давайте воспользуемся правилом цепи (chain rule).

Первое, что нам нужно сделать, это найти производную внутренней функции, которая в данном случае $6x$. Производная $6x$ равна 6.

Затем мы находим производную внешней функции $ctg^3(u)$, где $u = 6x$. Для этого нам понадобится правило степенной функции и правило для производной котангенса:

1. Производная степенной функции $f(u) = u^n$ равна $f'(u) = n \cdot u^{n-1}$.

2. Производная котангенса $\cot(u)$ равна $-\csc^2(u)$.

Теперь мы можем применить правило цепи:

$$\frac{d}{dx}[ctg^3(6x)] = \frac{d}{du}[ctg^3(u)] \cdot \frac{du}{dx} = -3 \cdot \cot^2(u) \cdot 6$$

Теперь мы можем заменить $u$ обратно на $6x$:

$$-3 \cdot \cot^2(6x) \cdot 6 = -18 \cot^2(6x)$$

Таким образом, производная функции $ctg^3(6x)$ равна $-18 \cot^2(6x)$.