Question

При яких значення а має безліч розвязків 2x+(3a-1)y=8, 6x+15y=24​

Answer 1

Відповідь: а=2

Покрокове пояснення: фото

Answer 2

Щоб визначити, при яких значеннях параметра $a$ система має безліч розв'язків, спочатку перевіримо, чи є система сумісною (має принаймні один розв'язок) і чи є вона визначеною (має єдиний розв'язок).

Спочатку виразимо $y$ через $x$ у кожному з рівнянь:

1. Розглянемо перше рівняння $2x + (3a - 1)y = 8$: $y = \frac{8 - 2x}{3a - 1}$

2. Розглянемо друге рівняння $6x + 15y = 24$: $y = \frac{24 - 6x}{15} = \frac{8 - 2x}{5}$

Оскільки обидва вирази дорівнюють $y$, ми можемо прирівняти їх: $\frac{8 - 2x}{3a - 1} = \frac{8 - 2x}{5}$

Для того, щоб система мала безліч розв'язків, дільник в цьому рівнянні не повинен дорівнювати нулю (тобто не повинен бути $3a - 1 = 0$), і вирази у чисельниках повинні бути однаковими. Таким чином, ми маємо:

$3a - 1 \neq 0 \quad \text{та} \quad 8 - 2x = 8 - 2x$

Останнє вірно для будь-якого $x$. Тепер розв'яжемо перше рівняння щодо $a$:

$3a - 1 \neq 0 \implies a \neq \frac{1}{3}$

Отже, система матиме безліч розв'язків, коли $a$ не дорівнює $1/3$.