Question

В треугольнике ABC длина стороны АВ равна 7 см, длина стороны ВС равна 8 см, а длина стороны АС равна 9 см. На стороне AC выбрали точку D так, чтобы величина угла ADB была в два раза больше величины угла ACB. Вычислите площадь треугольника ABC и точное значение длины отрезка BD.

Answer 1

Ответ:

Площадь 24*sqrt(5)

ВD=6 см

Пошаговое объяснение:

Половина периметра треугольника АВС=12 см

По формуле Герона квадрат площади  S

12*5*4*3=4*4*3*3*5

S=12*sqrt(5) см кв.

8*9*sinC=2S=24*sqrt(5)

sinC=sqrt(5)/3  квадрат косинуса равен 1-5/9=4/9

cosC=2/3

Ясно, что угол DBC=углуDCB т.е. углу C

Его сторона DC=(ВС/2)/cosC=4*3/2=6 см

Значит ВD=6 см

Треугольниек равнобедренный.

Answer 2

Для начала давайте найдем площадь треугольника ABC с помощью формулы Герона, так как у нас есть длины всех трех сторон:

1. Полупериметр треугольника ABC: s = (AB + BC + AC) / 2 s = (7 + 8 + 9) / 2 s = 12

2. Площадь треугольника ABC (S) с использованием формулы Герона: S = √[s * (s - AB) * (s - BC) * (s - AC)] S = √[12 * (12 - 7) * (12 - 8) * (12 - 9)] S = √[12 * 5 * 4 * 3] S = √(720) S = 12√5 см²

Теперь найдем точное значение длины отрезка BD. Пусть угол ACB равен α. Тогда угол ADB равен 2α.

Из теоремы синусов:

1. В треугольнике ABC: sin(α) = (AB / BC) = (7 / 8)

2. В треугольнике ADB: sin(2α) = (BD / AB)

Мы знаем, что sin(2α) = 2sin(α)cos(α), и sin(2α) также можно выразить через sin(α) и cos(α) следующим образом:

sin(2α) = 2sin(α)cos(α)

Подставим значение sin(α), которое мы уже нашли, и обозначим cos(α) как x:

sin(2α) = 2(7/8)x

Теперь нам нужно найти значение x (cos(α)) из этого уравнения. Мы знаем, что sin^2(α) + cos^2(α) = 1. Мы уже знаем sin(α) = 7/8, поэтому:

(7/8)^2 + x^2 = 1

(49/64) + x^2 = 1

x^2 = 1 - (49/64)

x^2 = 15/64

x = √(15/64)

x = √15 / 8

Теперь мы можем найти длину BD:

sin(2α) = 2(7/8)x

sin(2α) = (7/4) * (√15 / 8)

BD / 7 = (7/4) * (√15 / 8)

BD = (7/4) * (√15 / 8) * 7

BD = (1/4) * (√15)

Теперь у нас есть точное значение длины отрезка BD:

BD = (1/4) * √15 см