Question

Стефан изготовил набор домино из 45 костей, у которого значения, указанные на косточках, изменялись не от 0 до 6, а от 0 до N. (а) Чему равно N? (б) Какова сумма очков на всех костях такого домино?

Answer 1

Ответ:

а) N = 8; б) S(0-8) = 360

Пошаговое объяснение:

45 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9

а) Это набор от 0:0 до 8:8.

б) Сумма всех костей от 0:0 до 6:6 S(0-6) = 168, это давно известно.

Остальные кости дают сумму:

S(7-8) = (0+7) + (1+7) + (2+7) + (3+7) + (4+7) + (5+7) + (6+7) + (7+7) +

+ (0+8) + (1+8) + (2+8) + (3+8) + (4+8) + (5+8) + (6+8) + (7+8) + (8+8) =

= 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 =

= (7+14) + (8+13) + (9+12) + (10+11) + (8+16) + (9+15) + (10+14) + (11+13) + 12 =

= 21*4 + 24*4 + 12 = 84 + 96 + 12 = 192

Общая сумма костей от 0:0 до 8:8 составляет:

S(0-8) = S(0-6) + S(7-8) = 168 + 192 = 360

Answer 2

Домино - это игра с костями, где каждая кость имеет две половины, на каждой из которых есть отметка от 0 до N (в данном случае). Так как у каждой кости две половины, общее количество отметок на костях будет равно удвоенному числу костей.

(a) Чему равно N? Количество отметок на костях равно общему количеству половинок, то есть сумме всех чисел от 0 до N: $1 + 2 + 3 + \ldots + N.$

Это можно представить в виде арифметической прогрессии, где первый элемент (a) равен 1, разность (d) равна 1 (так как каждый следующий элемент увеличивается на 1), и количество элементов (n) равно N: $S = \frac{n}{2} \times (2a + (n-1)d),$ $S = \frac{N}{2} \times (2 \times 1 + (N-1) \times 1),$ $S = \frac{N}{2} \times (N + 1).$

Это представляет собой формулу для суммы первых N натуральных чисел. По условию, эта сумма равна общему числу отметок на костях, которое равно удвоенному числу костей, то есть 45: $45 = \frac{N}{2} \times (N + 1).$

Решив это уравнение, мы найдем N.

(b) Какова сумма очков на всех костях такого домино? Сумма очков на всех костях будет равна общему числу отметок, умноженному на 2 (по две половинки на каждой кости): $2 \times \frac{N}{2} \times (N + 1) = N \times (N + 1).$

Теперь мы можем решить уравнение $N \times (N + 1)$, используя значение N, которое мы найдем в пункте (a).