Question

Периметр треугольника ABC, описанного около окружности, равен 42. Точка касания со стороной AB делит эту сторону в отношении 1:5, считая от вершины A. Точка касания со стороной BC удалена от вершины C на 5. Найдите сторону AC треугольника.​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

На фото

Answer 2

Давайте обозначим точки. Пусть $D$ - точка касания на $AB$ (по отношению 1:5) и $E$ - точка касания на $BC$.

Теперь, обозначим стороны треугольника: $AC = x, BC = y, AB = z$.

Из условия задачи, известно, что:

1. Периметр треугольника равен сумме всех его сторон: $x + y + z = 42$.
2. Точка $D$ делит $AB$ в отношении 1:5, следовательно, $AD:DB = 1:5$.
3. Точка $E$ удалена от вершины $C$ на 5, т.е. $CE = y - 5$.

Используем формулу полупериметра треугольника и радиуса вписанной окружности:

$s = \frac{x+y+z}{2}$

$r = \sqrt{\frac{(s-x)(s-y)(s-z)}{s}}$

Известно, что $s = \frac{42}{2} = 21$.

Теперь, используем формулу для радиуса вписанной окружности:

$r = \sqrt{\frac{(21-x)(21-y)(21-z)}{21}}$

Также, радиус вписанной окружности связан с площадью треугольника ($S$) следующим образом:

$S = rs$

Мы знаем, что $S$ также можно выразить через площадь треугольника $ABC$, описанного вокруг окружности. Площадь такого треугольника можно выразить как:

$S_{ABC} = \frac{abc}{4R}$

где $a$, $b$, и $c$ - стороны треугольника, $R$ - радиус описанной окружности.

Сравнивая две формулы для площади, мы получаем:

$rs = \frac{abc}{4R}$

Подставим значение $r$ и упростим:

$\sqrt{\frac{(21-x)(21-y)(21-z)}{21}} \cdot 21 = \frac{xyz}{4R}$

Теперь, мы имеем два уравнения:

1. Уравнение для периметра: $x + y + z = 42$
2. Уравнение, связывающее стороны и радиус вписанной окружности: $\sqrt{\frac{(21-x)(21-y)(21-z)}{21}} \cdot 21 = \frac{xyz}{4R}$

Решив эту систему уравнений, мы сможем найти значение стороны $AC$. Для удобства можно воспользоваться компьютером или калькулятором для численного решения.