Question

Исследовать функцию на непрерывность f(x) = 2x - x^2 в точке х=5

Answer 1

Пошаговое объяснение:

функция непрерывна в точке , если предел функции в данной точке равен значению функции в этой точке.

$\lim_{x \to k} f(x) = f(k)\\\\k = 5; f(k) = -15\\ \lim_{x \to 5} (2x-x^2) = -15\\-15 = -15$

Answer 2

Чтобы исследовать функцию $f(x) = 2x - x^2$ на непрерывность в точке $x = 5$, мы должны выполнить три шага: проверить существование функции в точке, проверить существование предела в этой точке, и, наконец, сравнить значения функции и предела в этой точке.

1. Существование функции в точке $x = 5$:

   Поскольку мы имеем многочлен $f(x) = 2x - x^2$, он существует в любой точке $x$.

2. Проверка существования предела:

   Мы можем вычислить предел функции $f(x)$ при $x \to 5$. Предел существует, если левосторонний и правосторонний пределы равны. Вычислим их:

   $$\lim_{{x \to 5^-}} f(x) = \lim_{{x \to 5^-}} (2x - x^2) = 2 \cdot 5 - 5^2 = -15$$
   $$\lim_{{x \to 5^+}} f(x) = \lim_{{x \to 5^+}} (2x - x^2) = 2 \cdot 5 - 5^2 = -15$$

   Оба предела равны -15.

3. Сравнение значения функции и предела:

   Теперь сравним значение функции в точке $x = 5$ с её пределом:

   $$f(5) = 2 \cdot 5 - 5^2 = -15$$

   Таким образом, значение функции и предела совпадают.

Итак, учитывая все эти шаги, мы можем сделать вывод, что функция $f(x) = 2x - x^2$ непрерывна в точке $x = 5$.