Question

В уравнении 2z(∂z/∂x+∂z/∂y)=1 перейти к новым переменным u , v : x=u-v , y=u+v . Найти функцию z.

Answer 1

Ответ:

$\\ 2z( \frac{dz}{dx} + \frac{dz}{dy} ) = 1 \\ 2z( \frac{dz}{d(u - v)} + \frac{dz}{d(u + v)} = 1 \\ 2z \times \frac{dz(u + v) + dz(u - v)}{d( {u}^{2} - {v}^{2} )} = 1 \\ z \times \frac{dz(u + v + u - v)}{d( {u}^{2} - {v}^{2} )} = \frac{1}{2} \\ \frac{ {z}^{2}\times 2u }{ {u}^{2} - {v}^{2} } = \frac{1}{2} \\ 4 {z}^{2} u = {u}^{2} - {v}^{2} \\ z = \sqrt{ \frac{ {u}^{2} - {v}^{2} }{4u} }$

Answer 2

Для перехода к новым переменным u и v из x и y, мы можем использовать следующие замены:

u = x - y v = x + y

Теперь мы можем найти производные ∂z/∂x и ∂z/∂y в новых переменных u и v.

Сначала найдем производную по u, используя правило цепочки:

∂z/∂u = ∂z/∂x * ∂x/∂u + ∂z/∂y * ∂y/∂u

∂x/∂u = 1 ∂y/∂u = 1

∂z/∂u = ∂z/∂x + ∂z/∂y

Теперь найдем производную по v:

∂z/∂v = ∂z/∂x * ∂x/∂v + ∂z/∂y * ∂y/∂v

∂x/∂v = 1 ∂y/∂v = 1

∂z/∂v = ∂z/∂x + ∂z/∂y

Исходное уравнение 2z(∂z/∂x + ∂z/∂y) = 1 теперь становится:

2z(∂z/∂u + ∂z/∂v) = 1

Теперь это уравнение можно решить относительно z. Разделим обе стороны на 2:

z(∂z/∂u + ∂z/∂v) = 1/2

Теперь мы можем решить это уравнение относительно z:

z = 1/(2(∂z/∂u + ∂z/∂v))

Таким образом, функция z в новых переменных u и v будет z = 1/(2(∂z/∂u + ∂z/∂v)).