Question

Решить дифференциальное уравнение (x-2y)y’=x+y СРОЧНО!

Answer 1

Ответ:

$( x- 2y)y' = x + y \\ | \div x \\ (1 - \frac{2y}{x} )y'= 1 + \frac{y}{x} \\ \\ \frac{y}{x} = u \\ y' = u'x + u \\ \\ (1 - 2u)(u'x + u) = 1 + u \\ u'x + u = \frac{1 + u}{1 - 2u} \\ \frac{du}{dx} x = \frac{1 + u - u(1 - 2u)}{1 - 2u} \\ \frac{du}{dx} x = \frac{1 + 2 {u}^{2} }{1 - 2u} \\\int\limits \frac{1 - 2u}{1 + 2u {}^{2} } du = \int\limits \frac{dx}{x} \\ \int\limits \frac{du}{2u {}^{2} + 1} - \int\limits \frac{2udu}{1 + 2u {}^{2} } = ln( |x| ) + C \\ \frac{1}{ \sqrt{2} } \int\limits \frac{d( \sqrt{2} u)}{( \sqrt{2} u) {}^{2} + 1} - \frac{1}{2} \int\limits \frac{4udu}{2u {}^{2} + 1} = ln( |x| ) + C \\ - \frac{1}{ \sqrt{2} } arctg( \sqrt{2} u) - \frac{1}{2} \int\limits \frac{d(2u {}^{2} + 1) }{2u {}^{2} + 1} = ln( |x| ) + C\\ \frac{1}{ \sqrt{2} } arctg( \sqrt{2} u) - \frac{1}{2} ln( |2 {u}^{2} + 1 | ) = ln( |x| ) + C\\ \frac{1}{ \sqrt{2} } arctg( \sqrt{2} \frac{y}{x} ) - \frac{1}{2} ln( | \frac{2 {y}^{2} }{ {x}^{2} } + 1 | ) = ln( |x| ) + C$

общее решение

Answer 2

Давайте решим данное дифференциальное уравнение:

$(x - 2y)y' = x + y$

Сначала перепишем его в более удобной форме, разделив обе стороны на $(x - 2y)$:

$\frac{dy}{dx} = \frac{x + y}{x - 2y}$

Теперь можно попробовать решить это уравнение методом разделяющихся переменных. Для этого сгруппируем переменные, выделив $y$ на одну сторону и $x$ на другую:

$\frac{dy}{dx} = \frac{x}{x - 2y} + \frac{y}{x - 2y}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{x}{x - 2y} + \frac{y}{2y - x}$

Теперь попробуем заменить $2y - x$ на другую переменную $v$, чтобы упростить уравнение. Для этого выразим $dv/dx$:

$v = 2y - x$

$\frac{dv}{dx} = 2\frac{dy}{dx} - 1$

Теперь подставим это в уравнение:

$\frac{dy}{dx} = \frac{x}{x - 2y} + \frac{y}{2y - x}$

$\frac{1}{2}\frac{dv}{dx} = \frac{x}{x - v} - \frac{y}{v}$

Теперь это уравнение можно решить как обыкновенное дифференциальное уравнение. Сначала упростим:

$\frac{dv}{dx} = 2\left(\frac{x}{x - v} - \frac{y}{v}\right)$

$\frac{dv}{dx} = \frac{2x - 2v - 2yv}{x - v}$

$\frac{dv}{dx} = \frac{2x - 2yv}{x - v} - 2$

Теперь это уравнение линейное, и мы можем попробовать решить его с помощью метода интегрирующего множителя. Множитель $\mu$ можно выбрать следующим образом:

$\mu(x) = e^{\int{-2 \, dx}} = e^{-2x}$

Умножим обе стороны уравнения на $\mu(x)$:

$e^{-2x} \frac{dv}{dx} = \frac{2x - 2yv}{x - v}e^{-2x} - 2e^{-2x}$

Теперь левая сторона стала полной производной:

$\frac{d}{dx}\left(e^{-2x}v\right) = \frac{2x - 2yv}{x - v}e^{-2x} - 2e^{-2x}$

Слева мы получили полную производную по $x$ от $e^{-2x}v$, и мы можем интегрировать обе стороны:

$e^{-2x}v = \int{\left(\frac{2x - 2yv}{x - v}e^{-2x} - 2e^{-2x}\right)dx} + C$