Question

Помогите решитьlim x стремится к бесконечности (1+2/x)корень3x​

Answer 1

Ответ:

$\lim\limits_{x \to \infty}\Big(1+\dfrac{2}{x}\Big)\cdot \sqrt{3x}=\Big[\ (1+0)\cdot \infty \ =1\cdot \infty \Big]=\infty$

$P.S.\ \ \lim\limits_{x \to \infty}\, \dfrac{1}{x}=0$

Answer 2

Для решения предела lim(x -> ∞) [(1 + 2/x)^(3x)], вы можете использовать правило Лопиталя или методы пределов. Давайте воспользуемся методом пределов:

lim(x -> ∞) [(1 + 2/x)^(3x)]

Сначала преобразуем выражение, чтобы избавиться от бесконечности в показателе степени:

ln[lim(x -> ∞) [(1 + 2/x)^(3x)]]

Теперь используем свойство логарифма, чтобы перейти к умножению показателя степени:

lim(x -> ∞) [3x * ln(1 + 2/x)]

Теперь мы можем использовать известный предел:

lim(x -> ∞) [3x * ln(1 + 2/x)] = 3 * lim(x -> ∞) [x * ln(1 + 2/x)]

Теперь мы видим, что это имеет форму бесконечности * 0. Для таких пределов мы можем использовать правило Лопиталя. Производная верхней и нижней функций будет следующей:

f(x) = x * ln(1 + 2/x) g(x) = 1/x

Применим правило Лопиталя:

lim(x -> ∞) [f(x) / g(x)] = lim(x -> ∞) [f'(x) / g'(x)]

Вычислим производные:

f'(x) = ln(1 + 2/x) - (2/x^2) / (1 + 2/x) g'(x) = -1/x^2

Теперь вычислим предел:

lim(x -> ∞) [f'(x) / g'(x)] = lim(x -> ∞) [(ln(1 + 2/x) - (2/x^2)) / (-1/x^2)]

Используя правило Лопиталя еще раз:

lim(x -> ∞) [(ln(1 + 2/x) - (2/x^2)) / (-1/x^2)] = lim(x -> ∞) [(1 / (1 + 2/x) * (2/x^3)) / (2/x^2)]

Теперь просто вычисляем предел:

lim(x -> ∞) [(1 / (1 + 2/x) * (2/x^3)) / (2/x^2)] = lim(x -> ∞) [(x^2 / (x^2 + 2x))]

Теперь можно упростить:

lim(x -> ∞) [(x^2 / (x^2 + 2x))] = lim(x -> ∞) [(x^2 / x(x + 2))]

Теперь вы можете сократить x в числителе и знаменателе:

lim(x -> ∞) [(x / (x + 2))]

Теперь, когда x стремится к бесконечности, этот предел равен 1:

lim(x -> ∞) [(x / (x + 2))] = 1

Итак, предел lim(x -> ∞) [(1 + 2/x)^(3x)] равен 1.