Question

1)Найти наибольшее и наименьшее значение функции на указанном промежутке f(x)=x-1-x^3-x^2[-2,0]

Answer 1

$f(x)=x-1-x^3-x^2;\ \ \ \ x\in[-2;0]$

Функция точек разрыва не имеет. Область определения функции  $D(f)=[-2;0].$

Находим точки экстремумов функции, для этого первую производную приравниваем к нулю.

$f'(x)=(x-1-x^3-x^2)'=1-0-3x^2-2x\\f'(x)=-3x^2-2x+1\\f'(x)=0\\-3x^2-2x+1=0\\D=(-2)^2-4\cdot(-3)\cdot 1=4+12=16;\ \ \ \sqrt D=4\\\\x_1=\dfrac{2-4}{2\cdot(-3)}=\dfrac 13\notin[-2;0];\ \ \ \ x_2=\dfrac{2+4}{2\cdot(-3)}=-1\in[-2;0]$

Ищем значение функции в точке экстремума $(-1)$ и на границах отрезка.

$f(-2)=-2-1-(-2)^3-(-2)^2=-3+8-4=1\\f(-1)=-1-1-(-1)^3-(-1)^2=-2+1-1=-2\\f(0)=-0-1-0^3-0^2=-1$

Ответ: наименьшее значение функции $-2$, в точке х=-1;

           наибольшее значение функции 1 в точке х=-2.

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f(x) = x - 1 - x^3 - x^2 на указанном промежутке [-2, 0], мы должны сначала найти критические точки на этом интервале и затем проверить значение функции в этих точках, а также на границах интервала.

Шаг 1: Найдем производную функции f(x) по x и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки:

f'(x) = 1 - 3x^2 - 2x

Теперь найдем критические точки, решив уравнение f'(x) = 0:

1 - 3x^2 - 2x = 0

3x^2 + 2x - 1 = 0

Используя квадратное уравнение, можно найти корни:

x = (-2 ± √(2^2 - 4 * 3 * (-1))) / (2 * 3)

x = (-2 ± √(4 + 12)) / 6

x = (-2 ± √16) / 6

x = (-2 ± 4) / 6

Два корня:

x1 = (2 - 4) / 6 = -1/3 x2 = (2 + 4) / 6 = 1

Теперь у нас есть две критические точки: x = -1/3 и x = 1.

Шаг 2: Теперь найдем значения функции f(x) в этих критических точках и на границах интервала [-2, 0].

f(-2) = -2 - 1 - (-2)^3 - (-2)^2 = -2 - 1 + 8 - 4 = 1

f(0) = 0 - 1 - 0 - 0 = -1

Теперь проверим значения в критических точках:

f(-1/3) = (-1/3) - 1 - (-1/3)^3 - (-1/3)^2 = (-1/3) - 1 - (-1/27) - (1/9) = -4/3

f(1) = 1 - 1 - 1 - 1 = -2

Таким образом, наибольшее значение функции f(x) на интервале [-2, 0] равно 1 (достигается в точке x = -2), а наименьшее значение равно -4/3 (достигается в точке x = -1/3).