Question

Sin(x)*cos(y)dx-cos(x)*sin(y)dy=0 Найти общий дифференциал уравнения

Answer 1

Ответ:

$\sin(x) \cos(y)dx - \cos(x) \sin(y) dy = 0 \\ \cos(x) \sin(y) dy = \sin(x) \cos(y) dx \\ \int\limits \frac{ \sin(y) dy}{ \cos(y) } = \int\limits \frac{ \sin(x) }{ \cos(x) } dx \\ - \int\limits \frac{d (\cos(y)) }{ \cos(y) } = - \int\limits \frac{d( \cos(x)) }{ \cos(x) } \\ - ln( | \cos(y) | ) = - ln( | \cos(x) | ) + ln(C) \\ ln( \frac{1}{ | \cos(y) | } ) = ln( | \frac{C}{ \cos(x) } | ) \\ \frac{1}{ \cos(y) } = \frac{C}{ \cos(x) } \\ \cos(y) = \frac{1}{C} \cos(x)$

общее решение

Answer 2

Для нахождения общего дифференциала данного уравнения, мы можем воспользоваться правилом дифференцирования произведения функций. Уравнение имеет вид:

sin(x)cos(y)dx - cos(x)sin(y)dy = 0

Теперь давайте продифференцируем обе стороны этого уравнения. Для этого нам понадобятся правила дифференцирования:

d(sin(u))/dx = cos(u) * du/dx d(cos(u))/dx = -sin(u) * du/dx

Применяя эти правила, мы получаем:

cos(y) * dx * sin(x) - cos(x) * dy * sin(y) = 0

Теперь давайте объединим члены с dx и dy:

cos(y) * dx * sin(x) = cos(x) * dy * sin(y)

Теперь мы можем разделить обе стороны на sin(x) * sin(y), чтобы получить общий дифференциал:

(cos(y) * dx) / sin(x) = (cos(x) * dy) / sin(y)

Таким образом, общий дифференциал этого уравнения имеет вид:

(cos(y) * dx) / sin(x) = (cos(x) * dy) / sin(y)