Question

Найти: А) Вероятность того, что американский лось переносит зиму, оценивается в 80%, если лось здоров, и в 30%, если лось болен. Если в популяции больны 20% лосей, то какая доля популяции перенесет зиму? б) Если волки убивают 80% здоровых и 70% больных лосей из тех, что не выживают за зиму, то какую долю убитые волками за зиму лоси составляют во всей популяции?

Answer 1

А) В популяции 20% больных, 80% здоровых. Вероятность того, что отдельно взятый лось здоров равна р₁ = 80%/100% = 0,8. Вероятность того, что отдельно взятый лось болен равна  р₂ = 20%/100% = 0,2. Вероятность того, что отдельно взятый лось выживет равна (формула условной вероятности): Р (лось выживет) = 0,2·0,3 + 0,8·0,8 = 0,06 + 0,64 = 0,7 ⇒ зиму перенесёт 0,7 · 100% = 70% лосей

Б) Пусть р₃ = 80%/100% = 0,8; p₄ = 70%/100% = 0,7. Вероятность того,

что здоровый лось не переживет зиму: Р₁ = р₁ · (1 - 0,8) = 0,8·0,2 = 0,16. Вероятность того, что больной лось не переживет зиму:

Р₂ = р₂ · (1 - 0,3) = 0,2·0,7 = 0,14 ⇒ Р (волк убьет лося, не выжившего зимой) = р₃·Р₁ + p₄·Р₂ = 0,8·0,16 + 0,7·0,14 = 0,128 + 0,098 = 0,226 ⇒

доля лосей, убитых волками, составит 0,226 · 100% = 22,6%

Answer 2

А) Пусть $P(\text{Лось здоров}) = 0.8$ и $P(\text{Лось болен}) = 0.2$. Тогда вероятность того, что лось перенесет зиму, можно выразить как взвешенное среднее вероятностей, учитывая здоровье и болезнь:

$P(\text{Перенос зимы}) = P(\text{Лось здоров}) \times P(\text{Перенос зимы}|\text{Лось здоров}) + P(\text{Лось болен}) \times P(\text{Перенос зимы}|\text{Лось болен})$

$= 0.8 \times 0.8 + 0.2 \times 0.3$ $= 0.64 + 0.06$ $= 0.7$

Таким образом, 70% популяции лосей перенесет зиму.

Б) Пусть $P(\text{Лось не выживает за зиму}) = 1 - P(\text{Перенос зимы}) = 0.3$. Из них волки убивают 80% здоровых и 70% больных лосей. Доля убитых волками лосей во всей популяции будет:

$P(\text{Убит волками}) = P(\text{Лось не выживает за зиму}) \times (0.8 \times P(\text{Лось здоров}) + 0.7 \times P(\text{Лось болен}))$

$= 0.3 \times (0.8 \times 0.8 + 0.7 \times 0.2)$ $= 0.3 \times (0.64 + 0.14)$ $= 0.3 \times 0.78$ $= 0.234$

Таким образом, 23.4% популяции лосей будет убито волками за зиму.

Answer 3

Давайте рассмотрим каждый вопрос по отдельности.

А) Вероятность переноса зимы лосем:

Пусть $P(A)$ - вероятность того, что лось здоров (20% популяции), и $P(B)$ - вероятность того, что лось болен (80% популяции).

Из условия известно:

• Вероятность того, что лось переносит зиму, если он здоров: $P(\text{переносит зиму} | \text{здоров}) = 0.8$
• Вероятность того, что лось переносит зиму, если он болен: $P(\text{переносит зиму} | \text{болен}) = 0.3$

Тогда общая вероятность того, что лось переносит зиму, можно посчитать по формуле полной вероятности:

$P(\text{переносит зиму}) = P(\text{переносит зиму} | \text{здоров}) \times P(\text{здоров}) + P(\text{переносит зиму} | \text{болен}) \times P(\text{болен})$

$= 0.8 \times 0.2 + 0.3 \times 0.8 = 0.62$

Таким образом, 62% популяции лосей перенесут зиму.

Б) Доля лосей, убитых волками:

Из условия известно, что волки убивают 80% здоровых лосей и 70% больных лосей из тех, что не выживают за зиму. Посчитаем долю лосей, которые убиты волками за зиму:

$P(\text{убит волками}) = P(\text{убит волками} | \text{здоров}) \times P(\text{переносит зиму} | \text{здоров}) \times P(\text{здоров})$ $+ P(\text{убит волками} | \text{болен}) \times P(\text{переносит зиму} | \text{болен}) \times P(\text{болен})$

$= 0.8 \times 0.8 \times 0.2 + 0.7 \times 0.3 \times 0.8 = 0.232$

Таким образом, 23.2% популяции лосей будет убито волками за зиму.