Question

Найти общие решения дифференциальных уравнений первого порядка.СРОЧНООО xy′ = y ln + y;

Answer 1

$xy'=y\ln\dfrac{y}{x} +y$

Разделим уравнение на х:

$y'=\dfrac{y}{x} \ln\dfrac{y}{x} +\dfrac{y}{x}$

Замена: $\dfrac{y}{x} =t$

$\Rightarrow y=tx$

$\Rightarrow y'=t'x+tx'=t'x+t$

Получим уравнение:

$t'x+t=t\ln t+t$

$x\dfrac{dt}{dx} =t\ln t$

$\dfrac{dt}{t\ln t} =\dfrac{dx}{x}$

$\dfrac{d(\ln t)}{\ln t} =\dfrac{dx}{x}$

$\ln|\ln t|=\ln |x|+\ln C$

$\ln|\ln t|=\ln Cx$

$\ln t=Cx$

$t=e^{Cx}$

Обратная замена:

$\dfrac{y}{x} =e^{Cx}$

$\boxed{y=xe^{Cx}}$

Answer 2

Для решения дифференциального уравнения первого порядка $xy' = y\ln(x) + y$, мы можем воспользоваться методом разделения переменных. Сначала выразим все члены, содержащие $y$, на одну сторону уравнения, а члены, содержащие $x$, на другую:

$\frac{dy}{dx} = \frac{y\ln(x) + y}{x}.$

Теперь давайте разделим переменные, переместив $y$ и $dx$ на одну сторону, а $x$ и $d(\ln(x))$ на другую сторону:

$\frac{dy}{y} = \frac{\ln(x) + 1}{x}dx.$

Теперь мы можем проинтегрировать обе стороны уравнения:

$\int\frac{1}{y}dy = \int\frac{\ln(x) + 1}{x}dx.$

Интегралы на обеих сторонах можно вычислить следующим образом:

$\ln|y| = \int\left(\frac{\ln(x)}{x} + \frac{1}{x}\right)dx.$

Теперь вычислим интегралы:

$\ln|y| = \int\frac{\ln(x)}{x}dx + \int\frac{1}{x}dx.$

Интеграл $\int\frac{\ln(x)}{x}dx$ можно решить с использованием интеграции по частям, а интеграл $\int\frac{1}{x}dx$ - это просто $\ln|x|$:

$\ln|y| = \int\frac{\ln(x)}{x}dx + \ln|x| + C,$

где $C$ - произвольная постоянная.

Теперь объединим два интеграла:

$\ln|y| = \int\frac{\ln(x)}{x}dx + \ln|x| + C.$

Теперь выражаем $y$ справа:

$|y| = e^C \cdot e^{\int\frac{\ln(x)}{x}dx + \ln|x|}.$

Так как $e^C$ - это просто другая постоянная, мы можем переписать выражение:

$|y| = Ke^{\int\frac{\ln(x)}{x}dx + \ln|x|},$

где $K$ - некоторая константа.

Теперь учтем, что $|y|$ может быть равно положительному или отрицательному числу:

$y = \pm Ke^{\int\frac{\ln(x)}{x}dx + \ln|x|}.$

Это общее решение дифференциального уравнения первого порядка $xy' = y\ln(x) + y$.