Question

Всем Доброй ночи)нужна помощь в решении, по теме: Решение простейших и однородных дифференциальных уравнений второго порядка. Задание: Найти общие решения уравнений: 1.) 2.) 3.)

Answer 1

1) Дважды почленно проинтегрируем

$s'= \frac{t^2}{2} +t+C_1\\ \\ \boxed{s= \frac{t^3}{6} + \frac{t^2}{2} +C_1t+C_2}$

2) Это однородное уравнение. Воспользуемся методом Эйлера
Пусть $y=e^{kx}$

Тогда будем иметь характеристическое уравнение

$k^2+10k-11=0$

Корни которого равны $k_1=-11;\,\,\, k_2=1$

Общее решение однородного уравнения $\boxed{y=C_1e^{-11x}+C_2e^x}$

3) Аналогично со вторым примером

Перейдем к характеристическому уравнению
$k^2-4k+8=0\\ D=16-32=-16\\ \\ k= 2\pm 2i$

Общее решение: $\boxed{y=e^{2x}(C_1\cos 2x+C_2\sin2x)}$

Answer 2

Доброй ночи!

Для решения простейших и однородных дифференциальных уравнений второго порядка, сначала нужно записать само уравнение, а затем найти его общее решение.

1) Уравнение: y'' - 4y' + 4y = 0

Для начала, предположим, что решение имеет вид y = e^(mx), где m - неизвестная константа. Подставим это предположение в уравнение:

(m^2 - 4m + 4)e^(mx) = 0

Так как e^(mx) не равно нулю для любого x, то у нас получается характеристическое уравнение:

m^2 - 4m + 4 = 0

Решим это уравнение с помощью квадратного трехчлена или формулы корней:

m = (4 ± √(4^2 - 4*4)) / 2 m = (4 ± 0) / 2 m = 2

Таким образом, у нас есть два корня m = 2. Общее решение уравнения будет иметь вид:

y = C1e^(2x) + C2xe^(2x), где C1 и C2 - произвольные константы.

2) Уравнение: y'' + 6y' + 9y = 0

Повторим те же шаги, что и в первом примере.

Предполагаем, что решение имеет вид y = e^(mx):

(m^2 + 6m + 9)e^(mx) = 0

Характеристическое уравнение:

m^2 + 6m + 9 = 0

Решим его:

m = (-6 ± √(6^2 - 4*9)) / 2 m = (-6 ± 0) / 2 m = -3

У нас есть один корень m = -3. Общее решение уравнения:

y = C1e^(-3x) + C2xe^(-3x), где C1 и C2 - произвольные константы.

3) Уравнение: y'' - 2y' + y = 0

Предполагаем, что решение имеет вид y = e^(mx):

(m^2 - 2m + 1)e^(mx) = 0

Характеристическое уравнение:

m^2 - 2m + 1 = 0

Решим его:

m = (2 ± √(2^2 - 4*1)) / 2 m = (2 ± 0) / 2 m = 1

У нас есть один корень m = 1. Общее решение уравнения:

y = C1e^(x) + C2xe^(x), где C1 и C2 - произвольные константы.

Надеюсь, это поможет вам в решении задачи! Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать.