Question

Помогите решить уравнение y'=(y-2x)/2y^4

Answer 1

Ответ:

y = x^5*(244 - 3*(-44 - 231/(8*C1^3))/(4*C1^3) + 3*(132 + 231/(2*C1^3))/(4*C1^3) + 2079/(8*C1^3))/(120*C1^13) + x^4*(-12 + (-44 - 231/(8*C1^3))/(2*C1^3) - 77/(4*C1^3))/(24*C1^9) + x^3*(11 + 21/(4*C1^3))/(12*C1^8) + x^2*(-1 - 3/(4*C1^3))/(2*C1^4) + x/(2*C1^3) + C1 + O(x^6)

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение выглядит следующим образом:

y' = (y - 2x) / (2y^4)

Для его решения можно использовать метод разделения переменных. В начале умножим обе стороны на 2y^4, чтобы избавиться от дроби:

2y^4 dy = (y - 2x) dx

Теперь разделим переменные, переместив члены с y на одну сторону, а члены с x на другую:

2y^4 dy - y dx = -2x dx

Теперь произведем интегрирование обеих сторон:

∫2y^4 dy - ∫y dx = ∫-2x dx

Интегрируем каждый из членов по отдельности:

∫2y^4 dy = (2/5)y^5 + C1 ∫y dx = (1/2)y^2 + C2 ∫-2x dx = -x^2 + C3

Здесь C1, C2 и C3 - произвольные константы интеграции.

Теперь у нас есть:

(2/5)y^5 + C1 - (1/2)y^2 - C2 = -x^2 + C3

Переносим все слагаемые с y на одну сторону, а все слагаемые с x на другую:

(2/5)y^5 - (1/2)y^2 = -x^2 + (C3 - C1 + C2)

Объединим константы интеграции в одну константу C:

(2/5)y^5 - (1/2)y^2 = -x^2 + C

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения выглядит следующим образом:

(2/5)y^5 - (1/2)y^2 + x^2 = C

Где C - произвольная постоянная.