Question

Запишите общее уравнение прямой, проходящей через точки A(5;-1;-2) B(6;4;-1)

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

каноническое уравнение прямой

$\displaystyle \frac{x-5}{6-1} =\frac{y+1}{4+1} =\frac{z+2}{-1+2}$

теперь перепишем в виде системы

$\displaystyle \left \{ {{\displaystyle \frac{x-5}{1}=\frac{y+1}{5} } \atop {\displaystyle \frac{x-5}{1} =\frac{z+2}{1} }} \right.$

избавимся от знаменателей

$\displaystyle \left \{ {{5(x-1)=y+1} \atop {x-5=z+2\hfill}} \right. \left \{ {{5x-5=y+1} \atop {x-5=z+2}} \right.$

полученная система уравнений и есть общие уравнения прямой

Answer 2

Для записи общего уравнения прямой, проходящей через две заданные точки $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2)$, можно воспользоваться параметрическими уравнениями прямой:

$x = x_1 + t \cdot (x_2 - x_1)$ $y = y_1 + t \cdot (y_2 - y_1)$ $z = z_1 + t \cdot (z_2 - z_1)$

где $t$ - параметр, принимающий любые значения.

Для данного случая, где точки $A(5;-1;-2)$ и $B(6;4;-1)$, параметрические уравнения будут следующими:

$x = 5 + t \cdot (6 - 5) = 5 + t$ $y = -1 + t \cdot (4 - (-1)) = -1 + 5t$ $z = -2 + t \cdot ((-1) - (-2)) = -2 + t$

Общее уравнение прямой в параметрической форме через эти точки:

$\begin{cases} x = 5 + t \\ y = -1 + 5t \\ z = -2 + t \end{cases}$

Вы также можете переписать это уравнение в виде общего уравнения прямой, устранив параметр $t$:

$\frac{{x - 5}}{{1}} = \frac{{y + 1}}{{5}} = \frac{{z + 2}}{{1}}$

Таким образом, общее уравнение прямой:

$x - 5 = 1 \cdot (y + 1) = z + 2$