Question

Дана прямая L. 1. Составить уравнение прямой: а) проходящей через т. А параллельно данной прямой, б) проходящей через т. В  к данной прямой, в) проходящей через точки А и В, записать полученное уравнение в отрезках, 2.Определить расстояние: г) от точки А до точки В, д) от точки А до прямой L. L: 2х+5у+5=0 А (-3;-2), В (0;,-1)

Answer 1

$l:\; \; 2x+5y+5=0\; \; \to \; \; \vec{n}=(2,5)\\\\a)\; \; l_1\parallel l\; \; \Rightarrow \; \; \vec{n}_1=\vec{n}=(2,5)\; ,\; \; A(-3,-2)\in l_1\; ,\\\\l_1:\; \; 2\, (x+3)+5\, (y+2)=0\\\\l_1:\; \; 2x+5y+16=0\\\\b)\; \; l_2\perp l\; \; \Rightarrow \; \; \vec{s}_2=\vec{n}=(2,5)\; ,\; \; B(0,-1)\in l_2\; .\\\\l_2:\; \; \frac{x}{2}=\frac{y+1}{5}\\\\c)\; \; \overline {AB}=(0+3;-1+2)=(3;1)\\\\AB:\; \; \frac{x+3}{3}=\frac{y+2}{1}\\\\x+3=3(y+2)\\\\x-3y=3\, |:3\\\\ AB:\; \; \frac{x}{3}+\frac{y}{-1}=1$

$d)\; \; d_{AB}=|\overline {AB}|=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}\\\\e)\; \; d(A,l)= \frac{|\, Ax_0+By_0+Cz_0+D\, |}{\sqrt{3^2+1^2}}=\frac{|2\cdot (-3)+5\cdot (-2)+5}{\sqrt{10}}= \frac{|-11\, |}{\sqrt{10}} = \frac{11}{\sqrt{10}}$

Answer 2

1. а) Уравнение прямой, проходящей через точку А и параллельной данной прямой L, можно записать в виде: L1: 2x + 5y + c = 0, где c - неизвестный коэффициент. Подставим координаты точки А (-3;-2) в это уравнение: 2*(-3) + 5*(-2) + c = 0, -6 - 10 + c = 0, c = 16. Таким образом, уравнение прямой L1 будет иметь вид: L1: 2x + 5y + 16 = 0.

б) Уравнение прямой, проходящей через точку В перпендикулярно данной прямой L, можно записать в виде: L2: 5x - 2y + d = 0, где d - неизвестный коэффициент. Подставим координаты точки В (0,-1) в это уравнение: 5*0 - 2*(-1) + d = 0, 2 + d = 0, d = -2. Таким образом, уравнение прямой L2 будет иметь вид: L2: 5x - 2y - 2 = 0.

в) Уравнение прямой, проходящей через точки А и В, можно найти, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две точки: L3: (y - y1)/(y2 - y1) = (x - x1)/(x2 - x1), где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек А и В соответственно. Подставим координаты точек А (-3;-2) и В (0,-1) в это уравнение: (y + 2)/(-1 - (-2)) = (x + 3)/(0 - (-3)), (y + 2)/1 = (x + 3)/3, 3(y + 2) = x + 3, 3y + 6 = x + 3, x - 3y - 3 = 0. Таким образом, уравнение прямой L3 будет иметь вид: L3: x - 3y - 3 = 0.

2. г) Расстояние между точками А (-3;-2) и В (0,-1) можно найти с помощью формулы длины отрезка: d(А, В) = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2), где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек А и В соответственно. Подставим координаты точек А (-3;-2) и В (0,-1) в эту формулу: d(А, В) = √((0 - (-3))^2 + (-1 - (-2))^2), d(А, В) = √(3^2 + 1^2), d(А, В) = √(9 + 1), d(А, В) = √10. Таким образом, расстояние между точками А и В равно √10.

д) Расстояние от точки А (-3;-2) до прямой L можно найти с помощью формулы: d(А, L) = |Ax + By + C| / √(A^2 + B^2), где L: 2x + 5y + 5 = 0. Подставим координаты точки А (-3;-2) и коэффициенты прямой L (A=2, B=5, C=5) в эту формулу: d(А, L) = |2*(-3) + 5*(-2) + 5| / √(2^2 + 5^2), d(А, L) = |-6 - 10 + 5| / √(4 + 25), d(А, L) = |-11| / √29, d(А, L) = 11 / √29. Таким образом, расстояние от точки А до прямой L равно 11 / √29.