Question

Вычислить максимум функции z=1+15x-2x`2-xy-2y`2

Answer 1

Ответ: zmax=31.

Пошаговое объяснение:

1. Находим стационарные точки. Для этого находим и приравниваем к нулю первые частные производные z'x и z'y:

z'x=15-4*x-y=0

z'y=-x-4*y=0

Таким образом, полечена система уравнений:

15-4*x-y=0

-x-4*y=0

Решая её, находим x=4 и y=-1. Таким образом, существует лишь одна стационарная точка M(4;-1).

2. Находим вторые частные производные:

z"x=-4; z"xy=-1, z"y=-4

и вычисляем их значения в стационарной точке:

A=z"x(M)=-4; B=z"xy(M)=-1; C=x"y(M)=-4.

3. Вычисляем значение выражения A*C-B²=15. Так как 15>0, то в точке M функция имеет экстремум, и так как при этом A=-4<0, то это - максимум.

4. Подставляя в выражение для z значения x=4 и y=-1, находим максимум: zmax=1+15*4-2*4²-4*(-1)-2*(-1)²=31.

Answer 2

Для вычисления максимума функции z = 1 + 15x - 2x^2 - xy - 2y^2, нужно найти частные производные по x и y, приравнять их к нулю и решить систему уравнений для x и y. Затем проверить, является ли найденная точка экстремумом с помощью вторых производных.

1. Найдем частные производные:

∂z/∂x = 15 - 4x - y ∂z/∂y = -x - 4y

2. Приравняем их к нулю и решим систему уравнений:

15 - 4x - y = 0 -x - 4y = 0

Из второго уравнения выразим x: x = -4y.

Подставим это значение x в первое уравнение:

15 - 4(-4y) - y = 0

Решим уравнение относительно y:

15 + 16y - y = 0 15 + 15y = 0 15y = -15 y = -1

Теперь найдем значение x, используя x = -4y:

x = -4(-1) x = 4

Таким образом, найденная точка, в которой частные производные равны нулю, это (x, y) = (4, -1).

3. Теперь проверим, является ли эта точка максимумом или минимумом с помощью вторых производных. Для этого найдем вторые частные производные:

∂²z/∂x² = -4 ∂²z/∂y² = -4 ∂²z/∂x∂y = -1

Составим матрицу вторых производных (матрицу Гессе):

H = | ∂²z/∂x² ∂²z/∂x∂y | | ∂²z/∂x∂y ∂²z/∂y² |

В точке (4, -1), матрица Гессе имеет следующий вид:

H = | -4 -1 | | -1 -4 |

Вычислим определитель матрицы Гессе:

det(H) = (-4) * (-4) - (-1) * (-1) = 16 - 1 = 15

Определитель положительный, а следовательно, это является точкой минимума.

Таким образом, точка (4, -1) является точкой минимума функции z = 1 + 15x - 2x^2 - xy - 2y^2, а максимум в этой функции отсутствует.