Question

Y'+xy=0 y(0)=3 уравнение коши СРОЧНО!​

Answer 1

Ответ:          у = 3 e^( - x²/2 ) .

Пошаговое объяснение:

y'+xy=0 ;        y(0)=3 ;

dy/dx = - xy ;

dy/y = -xdx ;

∫dy/y = - ∫xdx ;

ln│y│ = - x²/2 + C ;

y = e^(  - x²/2 + C ) ;  -  це загальний розв"язок диф. рівняння . Знайдемо

тепер його частинний розв"язок :

у(0) = 3 ;  3 = е^( - 0²/2 + C ) ;

e^C = 3 ;   C*lne = ln3 ;   C = ln3 ,  тому

у = е^( - x²/2 +ln3 ) =3 e^( - x²/2 ) ;       у = 3 e^( - x²/2 ) .

Answer 2

Для решения этого дифференциального уравнения с начальным условием методом разделяющихся переменных, начнем с выражения дифференциального уравнения в форме, удобной для последующего интегрирования:

$\frac{dy}{dx} + xy = 0$

Теперь разделим переменные, чтобы выразить y и x отдельно:

$\frac{dy}{y} = -x dx$

Интегрируем обе стороны:

$\int \frac{1}{y} dy = - \int x dx$

$\ln|y| = -\frac{x^2}{2} + C_1$

где $C_1$ — постоянная интегрирования.

Теперь решим полученное уравнение относительно y:

$y = e^{-\frac{x^2}{2} + C_1}$

Чтобы найти конкретное решение с начальным условием $y(0) = 3$, подставим x = 0 в уравнение:

$3 = e^{-\frac{0^2}{2} + C_1} = e^{C_1}$

$C_1 = \ln 3$

Теперь мы можем записать окончательное решение в виде:

$y = 3e^{-\frac{x^2}{2} + \ln 3} = 3e^{\ln 3 - \frac{x^2}{2}} = 3e^{\ln(3e^{-\frac{x^2}{2}})}$

или, упрощая,

$y = 3e^{\ln 3 - \frac{x^2}{2}} = 3 \cdot 3e^{-\frac{x^2}{2}} = 3e^{3-\frac{x^2}{2}}$