Question

Три натуральных числа подобраны так, что сумма обратных к ним чисел меньше 1. Найдите наибольшее возможное значение этой суммы. Сириус умоляю последнее задание​

Answer 1

Ответ:

41/42

(я решила  методом подбора)

Answer 2

Для решения данной задачи мы ищем наибольшее возможное значение суммы обратных к натуральным числам, так чтобы сумма этих обратных чисел была меньше 1.

Пусть эти натуральные числа будут $a$, $b$, и $c$. Имеем:

$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} < 1$$

Для максимизации суммы обратных чисел подберем наименьшие натуральные числа $a$, $b$, и $c$. Таким образом, $a = 1$, $b = 2$, $c = 3$. Подставим значения и проверим условие:

$$\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{6}{6} + \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{11}{6} \approx 1.833$$

Это значение превышает 1, так что наши начальные числа $a = 1$, $b = 2$, $c = 3$ не подходят.

Давайте попробуем увеличить $c$, чтобы сумма была меньше 1.

Если $a = 1$ и $b = 2$, то:

$$\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{c} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{c} = \frac{3 + c + 2c}{2c} = \frac{3c + 3}{2c}$$

Это значение должно быть меньше 1:

$$\frac{3c + 3}{2c} < 1$$

Решим это неравенство:

$$3c + 3 < 2c \implies c < -3$$

Так как $c$ должно быть натуральным числом, такое неравенство невозможно.

Следовательно, наибольшее возможное значение суммы обратных к натуральным числам, которое меньше 1, не существует.