Question

Срочно плииз 15 б Решить дифференциальное уравнение xy’ - y(ln y - ln x)=0

Answer 1

Ответ:

$xy'- y( ln(y) - ln(x)) = 0 \\ xy' - y ln( \frac{y}{x} ) = 0 \: \: \: | \div x \\ y' - \frac{y}{x} ln( \frac{y}{x} ) = 0 \\ \\ \frac{y}{x} = u \\ y' = u'x + u \\ \\ u'x + u - ulnu = 0 \\ \frac{du}{dx} x = ulnu - u \\ \int\limits \frac{du}{u(lnu - 1)} = \int\limits \frac{dx}{x} \\ \int\limits \frac{d(lnu - 1)}{lnu - 1} = ln( |x| ) + ln(C) \\ ln( ln(u) - 1 ) = ln(Cx) \\ ln( |u| ) - 1 = Cx \\ ln( \frac{y}{x} ) = Cx + 1$

общее решение

Answer 2

Давайте решим данное дифференциальное уравнение. Исходное уравнение:

xy' - y(ln y - ln x) = 0

Для решения этого уравнения, давайте сначала преобразуем его:

xy' - y(ln y - ln x) = 0

xy' - yln(y/x) = 0

Теперь мы можем разделить обе стороны уравнения на x:

y' - (y/x)ln(y/x) = 0

Давайте введем новую переменную z = y/x. Тогда y = zx, и y' = zx' + z. Заменим это в уравнении:

zx' + z - zln(z) = 0

Теперь у нас есть уравнение вида:

zx' + z = zln(z)

Разделим обе стороны на z:

x' + 1 = ln(z)

Теперь мы можем решить это уравнение относительно x':

x' = ln(z) - 1

Теперь интегрируем обе стороны по x:

∫dx = ∫(ln(z) - 1)dz

x = ∫ln(z)dz - ∫dz

Теперь интегрируем каждое слагаемое:

x = zln(z) - z + C

Напомним, что мы ввели переменную z = y/x. Таким образом, окончательное решение в исходных переменных x и y будет:

y = x(zln(z) - z + C)

где C - произвольная постоянная.

Это является общим решением данного дифференциального уравнения.