Question

Знайти похідну першого порядку 5x+y^2=x+Iny

Answer 1

Ответ:      y' = - 4y/(2y²-  1) .

Пошаговое объяснение:

5x + y² = x + Iny ;

(5x + y²)' = (x + Iny)' ;

5 + 2y*y' = 1 + 1/y * y';

2y*y' - 1/y * y' = 1 - 5 ;

y' ( 2y - 1/y ) = - 4 ;

y' (2y²-  1)/y = - 4 ;

y' = - 4y/(2y²-  1) .

Answer 2

Щоб знайти похідну першого порядку функції $5x + y^2 = x + \ln(y)$, спростимо спершу рівняння, розв'язавши його відносно $y$.

$5x + y^2 = x + \ln(y)$

Віднімемо $x$ з обох сторін:

$4x + y^2 = \ln(y)$

Піднесемо обидві сторони рівняння до експоненти (використаємо $e$):

$e^{4x + y^2} = e^{\ln(y)}$

Тепер врахуємо властивості експоненти та логарифму:

$e^{4x} \cdot e^{y^2} = y$

Тепер ми можемо знайти похідну від обох сторін по $x$. Використовуючи правило ланцюга для похідних, ми отримаємо:

$\frac{d}{dx} (e^{4x}) \cdot e^{y^2} + e^{4x} \cdot \frac{d}{dx} (e^{y^2}) = \frac{d}{dx} (y)$

Тепер знайдемо похідні окремо:

1. $\frac{d}{dx} (e^{4x}) = 4e^{4x}$ (похідна експоненти).
2. $\frac{d}{dx} (e^{y^2}) = 2ye^{y^2} \cdot \frac{dy}{dx}$ (похідна експоненти та ланцюга для $y$).
3. $\frac{d}{dx} (y) = \frac{dy}{dx}$ (похідна $y$ відносно $x$).

Підставимо ці похідні назад в рівняння:

$4e^{4x} \cdot e^{y^2} + 2ye^{y^2} \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dx}$

Тепер вирішимо це рівняння відносно $\frac{dy}{dx}$, яке є похідною $y$ відносно (x:

$4e^{4x} \cdot e^{y^2} + 2ye^{y^2} \cdot \frac{dy}{dx} - \frac{dy}{dx} = 0$

Тепер розкриємо спільний множник $e^{y^2}$ і спростимо:

$(4e^{4x} - 1)e^{y^2} + 2ye^{y^2} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$

Тепер можемо виділити $\frac{dy}{dx}$ на одному боці рівняння:

$2ye^{y^2} \cdot \frac{dy}{dx} = (1 - 4e^{4x})e^{y^2}$

Тепер поділимо обидві сторони на $2ye^{y^2}$ для ізоляції $\frac{dy}{dx}$