Question

Определить и записать структуру частного решения у* линейного неоднородного диф уравнения по виду функции f(x): y''-4y'=f(x) a) f(x) = (x-2)^(e4x) b) f(x) = 3cos4x

Answer 1

Найдем общее решение правой части (ОЛДУ)

$y'' - 4y '= 0 \\ \\ y = {e}^{kx} \\ \\ k {}^{2} - 4k = 0 \\ k(k - 4) = 0\\ k_1 = 0 \\ k_2 = 4 \\ \\ y = C_1 + C_2 {e}^{4x}$

а)

$y'' - 4y' = (x - 2) {e}^{4x}$

$y= Ax + B$

В общем решении ОЛДУ есть константа без переменной (С1), поэтому многочлен домножаем на х.

$y = x(Ax + B) = (A {x}^{2} + Bx)$

Также домножаем на е^(4х)

Получаем структуру частного решения:

$y= (A {x}^{2} + Bx) {e}^{4x}$

б)

$y ''- 4y' = 3 \cos(4x)$

здесь правая часть не имеет пересечений с общим решением ОЛДУ, поэтому стандартный вид частного решения для тригонометрических функций:

$y = A \sin(4x) + B \cos(4x)$

Answer 2

Для определения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения вида $y'' - 4y' = f(x)$, где $f(x)$ представляет собой заданную функцию, мы используем метод вариации постоянных (метод вариации произвольных постоянных). Перед тем как начать, давайте найдем общее решение соответствующего однородного уравнения $y'' - 4y' = 0$.

Уравнение $y'' - 4y' = 0$ можно решить путем характеристического уравнения. Характеристическое уравнение будет следующим:

$r^2 - 4r = 0$

Это уравнение имеет два корня: $r_1 = 0$ и $r_2 = 4$. Общее решение однородного уравнения будет иметь вид:

$y_h(x) = C_1 e^{0x} + C_2 e^{4x} = C_1 + C_2 e^{4x}$

где $C_1$ и $C_2$ - произвольные постоянные, которые определяются начальными условиями, если они заданы.

Теперь для нахождения частного решения неоднородного уравнения для каждой заданной функции $f(x)$, мы будем искать частное решение в виде функции, подобной $f(x)$. Рассмотрим оба варианта $f(x)$:

a) $f(x) = (x - 2)^{e^{4x}}$

Для этой функции, представим частное решение в виде:

$y_p(x) = u(x)(x - 2)^{e^{4x}}$

где $u(x)$ - функция, которую мы должны определить. Подставляя это в исходное уравнение, мы можем найти $u(x)$ и, следовательно, частное решение.

b) $f(x) = 3\cos(4x)$

Для этой функции, представим частное решение в виде:

$y_p(x) = v(x)\cos(4x) + w(x)\sin(4x)$

где $v(x)$ и $w(x)$ - функции, которые мы должны определить. Подставляя это в исходное уравнение, мы можем найти $v(x)$ и $w(x)$ и, следовательно, частное решение.

Таким образом, я предоставил вам общий метод решения, и вы можете применить его к конкретным функциям $f(x)$, чтобы найти частные решения для каждого из вариантов.