Question

Найти точки экстремума. f(x)=x³+3x²-9x

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

f(x)=x³+3x²-9x ;    f'(x)=(x³+3x²-9x )' = 3x² + 6x - 9 = 3(x² + 2x - 3 )= 3(x+3)(x - 1 ) ;

f'(x) = 3(x+3)(x - 1 ) ;   x₁ = - 3 ,   x₂ = 1 ; - це критичні точки функції

f' (- 4) > 0 ;    f' (0 ) < 0 ;   f' ( 2) > 0 ;

x = - 3 - точка максимуму ;     х = 1 - точка мінімуму .

Answer 2

Для поиска точек экстремума функции $f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x$, нам необходимо найти её производные и приравнять их к нулю. Точки, в которых производная равна нулю или не существует, могут быть точками экстремума.

1. Найдем производную функции $f(x)$ по $x$:

$f'(x) = 3x^2 + 6x - 9$

2. Теперь приравняем $f'(x)$ к нулю и решим уравнение:

$3x^2 + 6x - 9 = 0$

3. Решим это квадратное уравнение:

$x^2 + 2x - 3 = 0$

Это квадратное уравнение можно разложить на множители:

$(x + 3)(x - 1) = 0$

Теперь найдем значения $x$, при которых $f'(x) = 0$:

• $x + 3 = 0$ => $x = -3$
• $x - 1 = 0$ => $x = 1$

Таким образом, у нас есть две критические точки, в которых $f'(x) = 0$: $x = -3$ и $x = 1$.

4. Чтобы определить, являются ли эти точки экстремумами, нужно проанализировать знак второй производной $f''(x)$ в окрестности каждой критической точки.

Вычислим $f''(x)$:

$f''(x) = 6x + 6$

5. Оценим знак второй производной в окрестности каждой критической точки:

• Для $x = -3$: $f''(-3) = 6(-3) + 6 = -18 + 6 = -12$ Поскольку $f''(-3)$ отрицательно, это означает, что $x = -3$ является точкой максимума.

• Для $x = 1$: $f''(1) = 6(1) + 6 = 6 + 6 = 12$ Поскольку $f''(1)$ положительно, это означает, что $x = 1$ является точкой минимума.

Итак, точка экстремума для функции $f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x$ следующая:

• Максимум в точке $(x, f(x)) = (-3, -18)$
• Минимум в точке $(x, f(x)) = (1, -5)$