Question

Периметр прямоугольника равен 30 см. Если одну его сторону уменьшить на 2 см, а другую увеличить на 4 см, то площадь прямоугольника уменьшится на 8 кв.см. Площадь первоначального прямоугольника равна

Answer 1

Р = 2 · (a + b) = 30 см - периметр прямоугольника

a + b = 30 : 2 = 15 см - ширина и длина вместе

Пусть а = х см - ширина, тогда b = (15 - х) см - длина

(х - 2) см - уменьшенная ширина, (15 - х + 4) см - увеличенная длина

х · (15 - х) см² - первоначальная площадь, (х - 2) · (19 - х) см² - площадь после изменений. Уравнение:

х · (15 - х) = (х - 2) · (19 - х) + 8

15х - х² = 19х - 38 - х² + 2х + 8

15х - х² - 19х + х² - 2х = -38 + 8

-6х = -30

х = -30 : (-6)

х = 5 см - ширина (а)

15 - 5 = 10 см - длина (b)

S = a · b = 5 · 10 = 50 см² - площадь первоначального прямоугольника

Ответ: 50 см².

Проверка:

(5 - 2) · (10 + 4) = 3 · 14 = 42 см² - площадь после изменений

50 - 42 = 8 см² - на столько меньше

Answer 2

Пусть длина первоначального прямоугольника равна $x$ см, а его ширина равна $y$ см.

Из условия известно, что периметр прямоугольника равен 30 см: $2x + 2y = 30$

Также известно, что если одну сторону уменьшить на 2 см, а другую увеличить на 4 см, то площадь прямоугольника уменьшится на 8 кв.см: $(x - 2)(y + 4) = xy - 8$

Теперь у нас есть две уравнения с двумя неизвестными ($x$ и $y$). Давайте решим эту систему уравнений. Первое уравнение можно выразить $y$ через $x$: $y = 15 - x$

Подставим это выражение во второе уравнение: $(x - 2)((15 - x) + 4) = x(15 - x) - 8$ $(x - 2)(17 - x) = 15x - x^2 - 8$ $17x - x^2 - 34 + 2x = 15x - x^2 - 8$ $17x - x^2 - 2x - 34 = 15x - x^2 - 8$ $15x - 2x - 34 = - 8$ $13x = 26$ $x = 2$

Теперь найдем значение $y$: $y = 15 - x = 15 - 2 = 13$

Таким образом, длина первоначального прямоугольника равна 2 см, а его ширина равна 13 см. Площадь прямоугольника вычисляется как $S = x \times y = 2 \times 13 = 26$ кв.см.