Question

Помогите Разложите следующие многочлены на множители ненулевой степени так, чтобы дальнейшее разложение было невозможно: x^6-x^5-x^2+x

Answer 1

x^5(x-1)-x(x-1)=(x^5-x)(x-1)=x*(x^4-1)*(x-1)=x*(x^2-1)*(x^2+1)*(x-1)

=x*(x-1)*(x-1)*(x+1)*(x^2+1)

Больше разложить с действительными числами нельзя.

с комлексными :x*(x-1)*(x-1)*(x+1)*(x-i)(x+i), где i -квадратныйкорень из (-1)

Answer 2

Для разложения многочлена x^6 - x^5 - x^2 + x сначала проведем факторизацию по общему множителю:

x(x^5 - x^4 - x + 1).

Теперь давайте разложим второй множитель, x^5 - x^4 - x + 1, на неразрешимые множители.

Мы видим, что множители могут быть рациональными числами, поэтому начнем с проверки целых чисел как корней этого уравнения:

Подставим x = 1: 1^5 - 1^4 - 1 + 1 = 0.

Это означает, что (x - 1) является множителем. Теперь мы можем разделить исходный многочлен на (x - 1):

(x^5 - x^4 - x + 1) / (x - 1) = x^4 - 1.

Теперь x^4 - 1 может быть дополнительно разложен с использованием разности квадратов:

x^4 - 1 = (x^2 - 1)(x^2 + 1).

Итак, полное разложение исходного многочлена x^6 - x^5 - x^2 + x на неразрешимые множители:

x(x - 1)(x^2 - 1)(x^2 + 1).

Теперь этот многочлен разложен на множители ненулевой степени, и дальнейшее разложение невозможно.