Question

Решить задачу Коши y'+y=x+2, y(0)=1

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для решения этой задачи Коши, мы будем использовать метод интегрирования. Сначала рассмотрим уравнение y' + y = x + 2. Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Мы можем решить его, применяя метод интегрирования фактора.

1. Умножим обе стороны уравнения на интегрирующий фактор, который равен экспоненте интеграла от коэффициента при y, то есть на e^∫1 dx.

y' e^∫1 dx + y e^∫1 dx = (x + 2) e^∫1 dx.

2. Теперь мы интегрируем обе стороны:

∫(y' e^∫1 dx) dx + ∫(y e^∫1 dx) dx = ∫((x + 2) e^∫1 dx) dx.

На левой стороне первый интеграл можно проинтегрировать по частям, а второй интеграл - просто по x.

∫(d/dx(y) e^x dx) + ∫(y e^x dx) = ∫((x + 2) e^x dx).

3. Применяем метод интегрирования по частям к первому интегралу:

y e^x - ∫(y e^x dx) + ∫(y e^x dx) = ∫((x + 2) e^x dx).

Замечаем, что интегралы ∫(y e^x dx) отменяются.

y e^x = ∫((x + 2) e^x dx).

4. Теперь интегрируем правую сторону:

y e^x = ∫(x e^x + 2 e^x) dx.

5. Решим интеграл на правой стороне:

y e^x = ∫(x e^x dx) + ∫(2 e^x dx).

Интеграл ∫(x e^x dx) можно вычислить с помощью интегрирования по частям:

u = x, dv = e^x dx du = dx, v = e^x

Тогда:

∫(x e^x dx) = x e^x - ∫(e^x dx) = x e^x - e^x.

Интеграл ∫(2 e^x dx) просто равен 2 e^x.

Теперь у нас есть:

y e^x = (x e^x - e^x) + 2 e^x.

6. Упростим это уравнение:

y e^x = x e^x - e^x + 2 e^x.

y e^x = x e^x + e^x.

7. Теперь разделим обе стороны на e^x:

y = x + 1.

Теперь мы решили дифференциальное уравнение. Теперь нам нужно найти значение константы C, используя начальное условие y(0) = 1:

1 = 0 + 1 + C, C = 1 - 1, C = 0.

Таким образом, решение задачи Коши y' + y = x + 2, y(0) = 1 равно y = x + 1.