Question

Середнє арифметичне двох взаємо обернених дробів і числа 3 дорівнює 1 41/60. Знайдіть ці дроби якщо вони нескоротні. С объяснением

Answer 1

Среднее арифметическое чисел - это сумма всех чисел, делённая на их количество.

1) 1 целая 41/60 · 3 = 101/60 · 3/1 = 101/20 = 5,05 - сумма трёх чисел;

2) 5,05 - 3 = 2,05 - сумма двух оставшихся чисел (взаимно обратных дробей);

3) Произведение взаимно обратных чисел равно единице (правило).

Пусть х - одна дробь, тогда (2,05 - х) - другая дробь. Уравнение:

х · (2,05 - х) = 1

2,05х - х² = 1

х² - 2,05х + 1 = 0

D = b² - 4ac = (-2,05)² - 4 · 1 · 1 = 4,2025 - 4 = 0,2025

√D = √0,2025 = 0,45

х₁ = (2,05-0,45)/(2·1) = (1,6)/2 = 0,8 = 8/10 = 4/5 - одна дробь

х₂ = (2,05+0,45)/(2·1) = (2,5)/2 = 1,25 = 125/100 = 5/4 - другая дробь

Или так: 2,05 - 0,8 = 1,25 = 125/100 = 5/4 - обратная дробь

Відповідь: дроби 4/5 і 5/4.

Проверка:

(4/5 + 5/4 + 3) : 3 = 1 41/60 - среднее арифметическое трёх чисел

(0,8 + 1,25 + 3) : 3 = 1 41/60

5,05 : 3 = 1 41/60

505/300 = 1 41/60

101/60 = 1 целая 41/60 - верно

Answer 2

Для знаходження двох взаємо обернених дробів, середнє арифметичне яких разом із числом 3 дорівнює 1 41/60, спочатку знайдемо середнє арифметичне цих двох дробів.

Середнє арифметичне двох чисел обчислюється за формулою: Середнє арифметичне = (Сума чисел) / (Кількість чисел)

Нехай два взаємо обернені дроби будуть 1/x і 1/y, де x і y - це числа, які нам потрібно знайти.

Середнє арифметичне двох дробів: (1/x + 1/y) / 2

За умовою задачі маємо: (1/x + 1/y) / 2 + 3 = 1 41/60

Спростимо праву частину виразу, перетворюючи 1 41/60 в десятковий дріб: 1 41/60 = 1 + 41/60 = 60/60 + 41/60 = 101/60

Тепер розв'яжемо рівняння: (1/x + 1/y) / 2 + 3 = 101/60

Спростимо рівняння, віднімемо 3 з обох сторін: (1/x + 1/y) / 2 = 101/60 - 3

(1/x + 1/y) / 2 = 101/60 - 180/60

(1/x + 1/y) / 2 = (-79/60)

Тепер помножимо обидві сторони на 2, щоб позбутися дільника 2: 1/x + 1/y = -79/30

Зараз нашою метою є знайти такі цілі числа x і y, які задовольнять це рівняння. Оскільки x і y - взаємо обернені дроби, то ми знаємо, що y = 1/x. Підставимо це у рівняння:

1/x + 1/(1/x) = -79/30

1/x + x = -79/30

Зробимо спільний знаменник: (30 * 1/x + 30 * x) = -79

30 + 30x^2 = -79

30x^2 = -79 - 30

30x^2 = -109

x^2 = -109/30

x = ±√(-109/30)

Так як дроби не можуть мати від'ємний знаменник, це означає, що немає цілих чисел x і y, які задовольнили б це рівняння. Таким чином, задачу неможливо вирішити, оскільки не існують цілих чисел x і y, що задовольнили б умові задачі.