Question

Биссектриса острого угла прямоугольного треугольника делит противолежащий катет на отрезки равные 4 и 5. Найти периметр этого треугольника.(формулы и правила)​

Answer 1

Ответ:

Обозначим данный треугольник АВС,

∠С=90°, ВК- биссектриса, СК=4, КА=5.

Биссектриса треугольника делит противоположную сторону в отношении длин прилежащих сторон (свойство).⇒

ВС:АВ=4:5

Пусть коэффициент этого отношения будет а.

Тогда по т.Пифагора

АС²=АВ² - ВС²

(4+5)²=25а²-16а²⇒

9а²=81⇒

а=3

ВС=12, АВ=15

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

S=АC•ВC:2=9•12:2=54 (ед. площади)

Answer 2

Для решения этой задачи, мы можем воспользоваться теоремой о биссектрисе прямоугольного треугольника. Теорема гласит, что биссектриса острого угла прямоугольного треугольника делит противолежащий катет на отрезки, пропорциональные прилежащим катетам. Другими словами:

Если биссектриса острого угла прямоугольного треугольника делит противолежащий катет на отрезки a и b, и прилежащие катеты равны c и d, то:

a/b = c/d

В вашем случае, известно, что a = 4 и b = 5. Пусть c и d будут длинами прилежащих катетов.

4/5 = c/d

Теперь давайте найдем соотношение между c и d. У нас есть прямоугольный треугольник, поэтому мы можем использовать теорему Пифагора:

c^2 + d^2 = гипотенуза^2

В этом случае гипотенуза - это гипотенуза треугольника, и она равна c^2 + d^2. Таким образом:

c^2 + d^2 = гипотенуза^2 c^2 + d^2 = (4 + 5)^2 c^2 + d^2 = 81

Теперь у нас есть система двух уравнений с двумя неизвестными:

1. 4/5 = c/d
2. c^2 + d^2 = 81

Мы можем решить эту систему уравнений, чтобы найти значения c и d. После этого мы сможем найти периметр треугольника, используя теорему Пифагора.

Сначала решим систему уравнений:

Из уравнения 1 можно выразить одну переменную через другую: c = (4/5)d

Подставим это значение в уравнение 2:

((4/5)d)^2 + d^2 = 81 (16/25)d^2 + d^2 = 81 (16/25 + 1)d^2 = 81 (41/25)d^2 = 81

Теперь найдем значение d:

d^2 = 81 * (25/41) d^2 = 495

d = √495 d = 3√55

Теперь мы можем найти значение c, используя уравнение 1:

c = (4/5)d c = (4/5)(3√55) c = (12/5)√55

Теперь у нас есть длины прилежащих катетов c и d. Давайте найдем гипотенузу:

гипотенуза^2 = c^2 + d^2 гипотенуза^2 = ((12/5)√55)^2 + (3√55)^2 гипотенуза^2 = (144/25 * 55) + (9 * 55) гипотенуза^2 = (7920/25) + (495) гипотенуза^2 = 316.8 + 495 гипотенуза^2 = 811.8

гипотенуза = √811.8 гипотенуза ≈ 28.5

Теперь у нас есть длины всех сторон треугольника. Чтобы найти периметр, просто сложим их:

Периметр = a + b + гипотенуза Периметр = 4 + 5 + 28.5 Периметр ≈ 37.5

Итак, периметр прямоугольного треугольника равен приблизительно 37.5 единицам длины.