Question

Решите неравенство: (х+2)(х–1)(х– 4)> 0 x² – 14x + 24 ≤ 0.

Answer 1

Пошаговое объяснение:

х² - 14х +24 =< 0

х² - 2х - 12х =< 0

х(х - 2) - 12(х - 2) =< 0

(х - 2)(х - 12) =< 0

$\begin {cases} x - 2 \leqslant 0 \\ x - 12 \geqslant 0 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \end {cases}\begin {cases}x - 2 \geqslant 0 \\ x - 12 \leqslant 0\end {cases} \\ \begin {cases}x \leqslant 2 \\ x \geqslant 12\end {cases} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \begin {cases}x \geqslant 2 \\ x \leqslant 12\end {cases} \\ x∈∅ \: \: \: \: \: \: \: x∈[2;12 \: ]$

Ответ : х∈[2 ; 12]

$(x + 2)( x - 1)(x - 4) > 0 \\ \begin {cases}(x + 2)(x - 1) > 0 \\ x - 4 > 0\end {cases} \: \: \: \: \: \: \: \begin {cases}(x + 2)(x - 1) < 0 \\ x - 4 < 0\end {cases} \\ \begin {cases}x∈( -∞ ; - 2)⋃(1; + ∞) \\ x > 4\end {cases} \: \: \: \: \: \: \: \: \begin {cases}x∈( - 2;1) \\ x < 4\end {cases} \\ x∈(4; + ∞) \: \: \: \: \: x∈( - 2;1) \\ x∈( - 2;1)⋃(4; + ∞)$

Ответ : х ∈( - 2;1)⋃(4; + ∞)

Answer 2

Давайте рассмотрим неравенство (x + 2)(x - 1)(x - 4) > 0 по шагам.

1. Найдем корни уравнения (x + 2)(x - 1)(x - 4) = 0. Для этого приравняем каждый множитель к нулю:

   a) x + 2 = 0 => x = -2 b) x - 1 = 0 => x = 1 c) x - 4 = 0 => x = 4

Таким образом, у нас есть три корня: x = -2, x = 1 и x = 4.

2. Теперь построим знаковую таблицу, чтобы определить интервалы, на которых неравенство выполняется. В этой таблице мы будем анализировать знаки выражения (x + 2)(x - 1)(x - 4):

   x	(x + 2)	(x - 1)	(x - 4)	(x + 2)(x - 1)(x - 4)
   x < -2	-	-	-	-
   -2 < x < 1	+	-	-	+
   1 < x < 4	+	+	-	-
   x > 4	+	+	+	+

Знак "-" в таблице означает, что множитель отрицателен, а знак "+" - что множитель положителен.

3. Теперь мы видим, что неравенство (x + 2)(x - 1)(x - 4) > 0 выполняется на интервалах (-2, 1) и (4, +∞). Это означает, что решение данного неравенства состоит из двух интервалов:

   -2 < x < 1 и x > 4

4. Наконец, давайте рассмотрим неравенство x² - 14x + 24 ≤ 0. Мы можем найти его корни, решив уравнение x² - 14x + 24 = 0:

   Используя дискриминант D = b² - 4ac:

   D = (-14)² - 4(1)(24) = 196 - 96 = 100

   Затем используем квадратное уравнение:

   x = (-b ± √D) / (2a)

   x₁ = (14 + √100) / 2 = (14 + 10) / 2 = 12 x₂ = (14 - √100) / 2 = (14 - 10) / 2 = 2

Итак, корни уравнения x² - 14x + 24 = 0: x₁ = 12 и x₂ = 2.

5. Теперь мы можем использовать корни этого уравнения и знать, что неравенство x² - 14x + 24 ≤ 0 выполняется на интервалах между этими корнями: 2 ≤ x ≤ 12.

Итак, решение исходного неравенства (x + 2)(x - 1)(x - 4) > 0 состоит из объединения интервалов (-2, 1) и (4, +∞), что можно записать как:

-2 < x < 1 или x > 4